Question

13．如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．
（1）点D的坐标为（0，2）；
（2）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标．

Answer 1

分析 由于C、D是定点，则CD是定值，如果△CDE的周长最小，即DE+CE有最小值．为此，作点D关于x轴的对称点D′，当点E在线段CD′上时，△CDE的周长最小．

解答 解：（1）∵OB=4，D为边OB的中点，
∴OD=2，
∴D（0，2），
故答案为：（0，2）；
（2）如图，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′与x轴交于点E，连接DE．
若在边OA上任取点E′与点E不重合，连接CE′、DE′、D′E′
由DE′+CE′=D′E′+CE′＞CD′=D′E+CE=DE+CE，
可知△CDE的周长最小．
∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D为OB的中点，
∴BC=3，D′O=DO=2，D′B=6，
∵OE∥BC，
∴Rt△D′OE∽Rt△D′BC，有$\frac{OE}{BC}=\frac{D′O}{D′B}$，
∴OE=1，
∴点E的坐标为（1，0）．

点评 此题主要考查轴对称--最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．