Question

2．已知关于x的一元二次方程x²-（m-1）x-2（m+3）=0．
（1）试证：无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设x₁、x₂是方程的两根，且满足x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=12，求m的值．

Answer 1

分析 （1）表示出根的判别式，配方后得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根；
（2）利用根与系数的关系可以得到x₁+x₂=m-1，x₁•x₂=-2（m+3），再把x₁²+x₂²=12进行变形可得（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=12，然后代入计算即可求解．

解答 解：（1）∵a=1，b=m-1，c=-2（m+3），
∴△=b²-4ac=（m-1）²+4×2（m+3）=m²+6m+12=（m+3）²+3＞0，
∴无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根；
（2）∵x₁、x₂是方程的两根，
∴x₁+x₂=m-1，x₁•x₂=-2（m+3），
∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=12，
∴（m+1）²+4（m+3）=12，
∴m²+2m+1=0，
∴m=-1．

点评 此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．