Question

7．小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真地探索．思考题．如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？
（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：
解：设点B将向外移动x米，即BB₁=x，则B₁C=x+0.7，A₁C=AC-AA₁=$\sqrt{{2.5}^{2}-{0.7}^{2}}$-0.4=2，而A₁B₁=2.5，在Rt△A₁B₁C中，由B₁C²+A₁C²=A₁B${\;}_{1}^{2}$，得方程（x+0.7）²+2²=2.5²，解方程得x₁=0.8，x₂=-2.2（舍去），
∴点B将向外移动0.8米．
（2）解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：
问题①在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？
问题②在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？
请你解答小聪提出的这两个问题．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABC中，根据已知条件运用勾股定理可将AC的长求出，又知AA₁的长可得AC的长，在Rt△A₁B₁C中再次运用勾股定理可将B₁C求出，B₁C的长减去BC的长即为底部B外移的距离．
（2）①作法与（1）相同；
②设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，根据勾股定理可得（x+0.7）²+（2.4-x）²=2.5²，再解即可．

解答 解：（1）设点B将向外移动x米，即BB₁=x，
则B₁C=x+0.7，A₁C=AC-AA₁=$\sqrt{{2.5}^{2}-{0.7}^{2}}$-0.4=2，
而A₁B₁=2.5，在Rt△A₁B₁C中，由B₁C²+A₁C²=A₁B₁²得方程（x+0.7）²+2²=2.5²，
解方程得x₁=0.8，x₂=-2.2（舍去），
∴点B将向外移动0.8米．
故答案为：（x+0.7）²+2²=2.5²；0.8，-2.2（舍去），0.8；

（2）①不会是0.9米；
∵AA₁=0.9，
∴A₁C=2.4-0.9=1.5，
在Rt△A₁B₁C中，B₁C=$\sqrt{{2.5}^{2}-{1.5}^{2}}$=2米，
则BB₁=CB₁-CB=2-0.7=1.3米．
故梯子底部B外移1.3米．
②有可能．
设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，
则有（x+0.7）²+（2.4-x）²=2.5²，
解得：x₁=1.7或x₂=0（舍）．
所以当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等．

点评 本题主要考查了勾股定理的应用及一元二次方程的应用，根据题意得出关于x的一元二次方程是解答此题的关键．