Question

4．如图，长方形ABCD中，AD=10，AB=6，动点P从A点出发以每秒1 个单位的速度向点D运动．动点Q从点B出发以每秒2个单位的速度在折线B-C-D上向终点D运动．P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随即停止运动．

（1）当t=7秒时，DQ=2；
（2）在运动的过程中，是否存在t的值，使△DPQ为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）取CD中点E，D关于PE的对称点D′恰好落在PQ上，直接写出t=$\frac{15-\sqrt{43}}{2}$（结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）动点Q从点B出发以每秒2个单位的速度在折线B-C-D上向终点D运动，AD=10，AB=6，得BC+CD=16，BC+CP=14，易得PD=2；
（2）题中没有指明Q在哪个边上为等腰三角形，故分别讨论在BC边和CD边上，在BC边分三种情况进行分析，分别是DP=DQ，DP=PQ，PQ=DQ．从而求得所需的时间，在CD边只一种情况；
（3）连接EQ，由对称的性质得PD=PD′，DE=D′E=EC，易得△D′EQ≌△CEQ，由全等三角形的性质得D′Q=CQ，易得PQ=PD+CQ，求得t．

解答 解：（1）如图1，∵动点Q从点B出发以每秒2个单位的速度在折线B-C-D上向终点D运动，
∴0≤t≤8，
∵BC+CD=16，
∴当t=7秒时，BC+CP=14，
∴PD=2，
故答案为：2；

（2）当Q在BC上时，0≤t≤5，
ⅰ）当PQ=DQ时，即PQ²=DQ²，
PQ²=6²+（2t-t）²，DQ²=6²+（10-2t）²，
∴t²=（10-2t）²
解得：t=$\frac{10}{3}$或t=10（不合题意，舍去），
∴t=$\frac{10}{3}$；
ⅱ）当PQ=PD时，6²+t²=（10-t）²，
解得：t=3.2；
ⅲ）当DP=DQ时，6²+（10-2t）²=（10-t）²，
△＜0，无解．
当Q在CD上时，则只有DP=DQ，16-2t=10-t，t=6；
综上所述，当t=$\frac{10}{3}$，3.2或6时，△DPQ是等腰三角形；

（3）如图2，连接EQ，
由对称的性质得PD=PD′，DE=D′E，∠ED′Q=90°，
∵E为CD的中点，
∴D′E=EC，
在Rt△D′EQ与Rt△CEQ中
$\left\{\begin{array}{l}{D′E=EC}\\{EQ=EQ}\end{array}\right.$，
∴△D′EQ≌△CEQ，
∴D′Q=CQ，
∴PQ=PD+CQ，
∴6²+t²=[（10-t）+（10-2t）]²，
解得：t=$\frac{15-\sqrt{43}}{2}$或t=$\frac{15+\sqrt{43}}{2}$，
当Q在BC上时，0≤t≤5，
∴t=$\frac{15-\sqrt{43}}{2}$，
故答案为：t=$\frac{15-\sqrt{43}}{2}$．

点评 本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，对称的性质等，运用分类讨论思想是解答此题的关键．