Question

2．已知抛物线y=x²+bx-3与x轴交于A、B两点（A为左交点），与y轴的交于点C，tan∠BCO=$\frac{1}{3}$，
（1）求抛物线的解析式．
（2）设点P是直线AC下方抛物线上的动点，设点P的横坐标为t，求以P、C、B为顶点的三角形的面积S与t的关系式．
（3）在第（2）问条件下，当S=3时，点M是直线PB上的动点，点N是直线BC上的动点，是否存在着使得以M、N、O、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用C（0，-3），tan∠BCO=$\frac{1}{3}$，可求出点B的坐标，代入y=x²+bx-3可求出b的值；
（2）作PH⊥OA，由S=S_{四边形APCB}-S_△APB=S_△AHP+S_梯形PHOC+S_△BOC-S_△APB可得到S与t的关系式；
（3）由S=3可求出t的值，得到点P的坐标，用待定系数法求出直线PB、BC的解析式，由点M是直线PB上的动点，点N是直线BC上的动点，使得以M、N、O、C为顶点的四边形为平行四边形，可知OM∥BC，求出PB和OM的交点即为所求．

解答 解：（1）∵y=x²+bx-3与y轴的交于点C，
∴C（0，-3），
∴OC=3，
∵tan∠BCO=$\frac{1}{3}$，
∴OB=1，
∴B（1，0）
代入y=x²+bx-3得，b=2，
∴y=x²+2x-3；
（2）如备用图1，作PH⊥OA，
∵y=x²+2x-3，
∴A（-3，0），P（t，t²+2t-3），
∴AH=t+3，OH=-t，AB=4，PH=-（t²+2t-3），
∵S=S_{四边形APCB}-S_△APB
=S_△AHP+S_梯形PHOC+S_△BOC-S_△APB
=$\frac{1}{2}$×AH×PH+$\frac{1}{2}$×OH×（PH+OC）+$\frac{1}{2}$×OB×OC-$\frac{1}{2}$×AB×PH
=$\frac{1}{2}$×（t+3）×[-（t²+2t-3）]+$\frac{1}{2}$×（-t）×[-（t²+2t-3）+3）+$\frac{1}{2}$×1×3-$\frac{1}{2}$×4×[-（t²+2t-3）]
=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$t；
（3）存在，如备用图2，过O作OM∥BC，交PB于点M，
当S=3时，3=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$t，
解得：t=-2或t=3（舍去）
∴P（-2，-3）
设直线PB的解析式为y_PB=kx+b，代入P、B两点坐标得，
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{-2k+b=-3}\end{array}\right.$
解得：k=1，b=-1，
∴y_PB=x-1，
设直线CB的解析式为y_BC=kx+b，代入C、B两点坐标得
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$
解得：k=3，b=-3，
∴y_BC=3x-3，
∵点M是直线PB上的动点，点N是直线BC上的动点，以M、N、O、C为顶点的四边形为平行四边形，
①OM∥BC时，
∴y_OM=3x，
∵PB于OM交于点M，
∴x-1=3x
解得：x=-$\frac{1}{2}$，
∴y=-$\frac{3}{2}$，
∴M（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．
②NM∥OC时，此时有y_N-y_M=OC=3，
即（3x-3）-（x-1）=3，
解得x=$\frac{5}{2}$
故M（$\frac{5}{2}，\frac{3}{2}$）．
综上，所求M点的坐标为（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$）或（$\frac{5}{2}，\frac{3}{2}$）．

点评 本题主要考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式、数形结合列函数表达式、以及平行四边形的判定，能够熟练的运用数形结合思想是解决问题的关键．