Question

8．如图，△ABC，∠C=90°，AC=BC=a，在△ABC中截出一个正方形A₁B₁C₁D₁，使点A₁，D₁分别在AC，BC边上，边B₁C₁在AB边上；在△BC₁D₁在截出第二个正方形A₂B₂C₂D₂，使点A₂，D₂分别在BC₁，D₁C₁边上，边B₂C₂在BD₁边上；…，依此方法作下去，则第n个正方形的边长为（$\frac{\sqrt{2}}{3}$）ⁿa．

Answer 1

分析 设正方形A₁B₁C₁D₁的边长为x，利用△CA₁D₁和△AA₁B₁都是等腰直角三角形得到A₁C=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，AA₁=$\sqrt{2}$x，则$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\sqrt{2}$x=a，解得x=$\frac{\sqrt{2}}{3}$a，于是得第1个正方形的边长为$\frac{\sqrt{2}}{3}$a，运用同样的方法可得第2个正方形的边长为（$\frac{\sqrt{2}}{3}$）²a，于是根据指数与序号的关系可得第n个正方形的边长为（$\frac{\sqrt{2}}{3}$）ⁿa．

解答 解：设正方形A₁B₁C₁D₁的边长为x，
∵△CA₁D₁和△AA₁B₁都是等腰直角三角形，
∴A₁C=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，AA₁=$\sqrt{2}$x，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\sqrt{2}$x=a，解得x=$\frac{\sqrt{2}}{3}$a，
即第1个正方形的边长为$\frac{\sqrt{2}}{3}$a，
设正方形A₂B₂C₂D₂的边长为y，
∵△C₂D₁D₂和△C₁A₂D₂都是等腰直角三角形，
∴C₁D₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$y，D₁D₂=$\sqrt{2}$y，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$y+$\sqrt{2}$y=$\frac{\sqrt{2}}{3}$a，解得y=（$\frac{\sqrt{2}}{3}$）²a，
即第2个正方形的边长为（$\frac{\sqrt{2}}{3}$）²a，
同理可得第3个正方形的边长为（$\frac{\sqrt{2}}{3}$）³a，
∴第n个正方形的边长为（$\frac{\sqrt{2}}{3}$）ⁿa．
故答案为（$\frac{\sqrt{2}}{3}$）ⁿa．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质和正方形的性质，灵活应用等腰直角三角形三边的关系进行几何计算．