Question

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，以OC为边在第一象限内作边长为4的正方OCDE，二次函数y=ax²+$\frac{4}{3}$x+c的图象经过正方形OCDE的顶点C、D，若点P是x轴正半轴上一动点，过P作PN⊥x轴，交抛物线于点N，设P（x，0）．

（1）a=-$\frac{1}{3}$，c=4；
（2）当点P运动时，以OP为边在x轴上方作正方形OPFG，设正方形OPFG与△OCE重叠部分的面积为S，求出S关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（3）抛物线上是否存在一点Q．使△QCE为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在．请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得二次项系数，常数项；
（2）分类讨论：当0＜x≤2时，根据正方形的面积公式，可得答案；当2＜x≤4时，根据图形割补法，可得答案；当x＞4时，根据三角形的面积公式，可得答案；
（3）根据直角三角形的判定：直径所对的圆周角是直角，可得答案．

解答 解：（1）由正方形OCDE的边长为4，得C（0，4），D（4，4），
将C、D点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{16a+\frac{16}{3}+c=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{c=4}\end{array}\right.$
故答案为：$-\frac{1}{3}$，4；
（2）设y_CE=kx+4，把E（4，0）代入
可得4k+4=0∴k=-1
∴y_CE=-x+4
∴当x=2时，点F在直线EC上
①当0＜x≤2时，如图1，S=x²；
②当2＜x≤4时，如图2，OE=4，OP=x

∵Rt△COE和Rt△HFK为等腰直角三角形
∴PE=PK=4-x   FK=FH=2x-4
∴S=x²-0.5（2x-4）²=-x²+8x-8；
③当x＞4时，
S=8；
综上所述：s=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}（0＜x≤2）}\\{-{x}^{2}+8x-8（2＜x≤4）}\\{8（x＞4）}\end{array}\right.$                
（3）如图4，
利用圆周角定理，得
以CE的长为直径，CE的中点为圆心的圆（x-2）²+（y-2）²=128，
联立直线与抛物线，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{4}{3}x+4}\\{（x-2）^{2}+（y-2）^{2}=128}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{7}}\\{y=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\sqrt{7}}\\{y=3}\end{array}\right.$，
即Q₁（4，4）；Q₂（2+$\sqrt{7}$，3）；Q₃（2-$\sqrt{7}$，3）；
∠Q₄CE=90°，
联立CQ₄、抛物线，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{4}{3}x+4}\\{y=x+4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=5}\end{array}\right.$
即Q₄（1，5）；
∠Q₅EC=∠Q₆EC=90°，Q₅E的解析式为y=x-4，
联立Q₅E、抛物线，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{4}{3}x+4}\\{y=x-4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1+\sqrt{97}}{2}}\\{y=\frac{-7+\sqrt{97}}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1-\sqrt{97}}{2}}\\{y=\frac{-7-\sqrt{97}}{2}}\end{array}\right.$，
即 Q₅（$\frac{1+\sqrt{97}}{2}$，$\frac{-7+\sqrt{97}}{2}$）；Q₆（$\frac{1-\sqrt{97}}{2}$，$\frac{-7-\sqrt{97}}{2}$）；
综上所述：Q₁（4，4）；Q₂（2+$\sqrt{7}$，3）；Q₃（2-$\sqrt{7}$，3）；Q₄（1，5）；Q₅（$\frac{1+\sqrt{97}}{2}$，$\frac{-7+\sqrt{97}}{2}$）；Q₆（$\frac{1-\sqrt{97}}{2}$，$\frac{-7-\sqrt{97}}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）图形割补法是求面积的关键，分类讨论以防遗漏符合条件的情况；（3）利用圆周角求直角是解题关键．