题目内容
16．
如图，直线y=2x-2分别与x轴、y轴相交于M，N两点，并且与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）相交于A，B两点，过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，AC与BD的延长线交于点E（m，n）．（1）求证：$\frac{EC}{EA}$=$\frac{ED}{EB}$；
（2）若$\frac{AM}{BM}$=$\frac{1}{2}$，求$\frac{k}{x}$＞2x-2的x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，P为双曲线上一点，以OB，OP为邻边作平行四边形，且平行四边形的周长最小，求第四个顶点Q的坐标．
分析 （1）设A（x1，$\frac{k}{{x}_{1}}$），B（x2，$\frac{k}{{x}_{2}}$），则有AE=x1-x2，BE=$\frac{k}{{x}_{1}}$-$\frac{k}{{x}_{2}}$，EC=-x2，ED=$\frac{k}{{x}_{1}}$，首先证明$\frac{AE}{BE}$=$\frac{EC}{ED}$，由此即可解决问题．
（2））由DM∥AE，得$\frac{DE}{BD}$=$\frac{AM}{BM}$=$\frac{1}{2}$，设A（m，n）则B（-$\frac{m}{2}$，-2n），把A、B代入y=2x-2得到$\left\{\begin{array}{l}{n=2m-2}\\{-2n=4m-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=2}\end{array}\right.$，求出A、B两点坐标即可解决问题．
（3）因为点B是定点，OB是定长，所以要求平行四边形OBPQ的周长的最小值只需要求出OP的最小值即可，由P在y=$\frac{4}{x}$上，设P（a，$\frac{4}{a}$），因为OP2=n2+$\frac{16}{{n}^{2}}$=（n-$\frac{4}{n}$）2+8，所以当n-$\frac{4}{n}$=0时，OP2的值最小，由此即可解决问题．
解答 （1）证明：设A（x1，$\frac{k}{{x}_{1}}$），B（x2，$\frac{k}{{x}_{2}}$），则有AE=x1-x2，BE=$\frac{k}{{x}_{1}}$-$\frac{k}{{x}_{2}}$，EC=-x2，ED=$\frac{k}{{x}_{1}}$，
∵$\frac{AE}{BE}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{\frac{k}{{x}_{1}}-\frac{k}{{x}_{2}}}$=-$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{k}$，$\frac{EC}{ED}$=$\frac{-{x}_{2}}{\frac{k}{{x}_{1}}}$=-$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{k}$，
∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{EC}{ED}$，
∴$\frac{EC}{EA}$=$\frac{ED}{EB}$．
（2）∵DM∥AE，
∴$\frac{DE}{BD}$=$\frac{AM}{BM}$=$\frac{1}{2}$，
∴A（m，n）则B（-$\frac{m}{2}$，-2n），
把A、B代入y=2x-2得到$\left\{\begin{array}{l}{n=2m-2}\\{-2n=4m-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴A（2，2），B（-1，-4），
由图象可知，$\frac{k}{x}$＞2x-2时，x＜-1或0＜x＜2．
（3）由（2）可知反比例函数解析式为y=$\frac{4}{x}$，A（2，2），B（1，-4），
∵四边形OBPQ是平行四边形，
∴OB=PQ，PO=BQ，
∵点B是定点，∴OB是定长，
∴要求平行四边形OBPQ的周长的最小值只需要求出OP的最小值即可，
∵P在y=$\frac{4}{x}$上，设P（a，$\frac{4}{a}$），
∴OP2=n2+$\frac{16}{{n}^{2}}$=（n-$\frac{4}{n}$）2+8，
∴当n-$\frac{4}{n}$=0时，OP2的值最小，
∴n=±2时，OP有最小值，
∴P（2，2）或（-2，-2），Q（1，-2）或（-3，-6）．
点评 本题考查反比例函数综合题、坐标与图象的性质．相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，待定系数法以及三角形面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
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给下面命题的说理过程填写依据．
如图，点A坐标为（4，0），点P在第一象限且在直线y=-x+5上．