Question

14．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx²-（2m+1）x+m-4的图象与x轴有两个公共点．
（1）求m的取值范围；
（2）若m取满足条件的最小的整数，写出这个二次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，若P（a，y₁）、Q（1，y₂）是此抛物线上的两点，且y₁＞y₂，请结合函数图象直接写出实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意列出不等式组即可解决问题；
（2）满足条件的m的最小整数为1，由此即可解决问题．
（3）画出函数图象，利用图象法即可解决问题；

解答 解：（1）∵二次函数y=mx²-（2m+1）x+m-4的图象与x轴有两个公共点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≠0}\\{[-（2m+1）]^{2}-4m（m-4）＞0}\end{array}\right.$，
解得m＞-$\frac{1}{20}$且m≠0，
∴m的取值范围为m＞-$\frac{1}{20}$且m≠0．

（2）由题意m=1，
∴二次函数的解析式为y=x²-3x-3．

（3）∵抛物线的对称轴x=$\frac{3}{2}$，当x＜$\frac{3}{2}$时，y随x的增大而减小，
∴a＜1时，y₁＞y₂，根据对称性Q（1，y₂）关于对称轴的对称点为（2，y₂），
观察图象可知，当a＞2时，y₁＞y₂，
综上所述，当a＜1或a＞2时，y₁＞y₂．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会利用图象法解决实际问题．