Question

3．如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，已知∠B=45°，tan∠ACB=3，AC=$\sqrt{10}$，求tan∠DCB的值．

Answer 1

分析 作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，如图，在Rt△AEC中，根据正切的定义和勾股定理可计算出AE=3，CE=1，再在Rt△ABE中，利用∠B=45°得到BE=AE=3，接着证明DF为△ABE的中位线得到DF=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{3}{2}$，然后在Rt△BDF中利用∠B=45°得到BF=DF=$\frac{3}{2}$，则可计算出CF=$\frac{5}{2}$，最后在Rt△DCF中根据正切的定义求解．

解答 解：作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，如图，
在Rt△AEC中，tan∠ACE=$\frac{AE}{CE}$=3，
设AE=3x，则CE=x，
∴AC=$\sqrt{C{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{10}$x，
∴$\sqrt{10}$x=$\sqrt{10}$，解得x=1，
∴AE=3，CE=1，
在Rt△ABE中，∵∠B=45°，
∴BE=AE=3，
∵CD是AB边上的中线，即BD=AD，
而DF∥AE，
∴DF为△ABE的中位线，
∴DF=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{3}{2}$，
在Rt△BDF中，∵∠B=45°，
∴BF=DF=$\frac{3}{2}$，
∴CF=BE+CE-BF=3+1-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
在Rt△DCF中，tan∠DCFD=$\frac{DF}{CF}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{5}{2}}$=$\frac{3}{5}$，
即tan∠DCB的值为$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了三角形中位线性质．