Question

如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数y=

k

x

（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB，BC分别交于点M，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM，ON，MN．下列结论：①△OCN≌△OAM；②四边形DAMN与△MON面积相等；③ON=MN；④若∠MON=45°，MN=2，则点C的坐标为（0，

2

+1），其中正确结论为

 

（填将所有正确的序号都填上）

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：根据反比例函数的比例系数的几何意义得到S_△ONC=S_△OAM=

1

2

k，即

1

2

OC•NC=

1

2

OA•AM，而OC=OA，则NC=AM，再根据“SAS”可判断△OCN≌△OAM；
根据S_△OND=S_△OAM=

1

2

k和S_△OND+S_{四边形DAMN}=S_△OAM+S_△OMN，即可得到S_{四边形DAMN}=S_△OMN；
根据全等的性质得到ON=OM，由于k的值不能确定，则∠MON的值不能确定，无法确定△ONM为等边三角形，则ON≠MN；
作NE⊥OM于E点，则△ONE为等腰直角三角形，设NE=x，则OM=ON=

2

x，EM=

2

x-x=（

2

-1）x，在Rt△NEM中，利用勾股定理可求出x²=2+

2

，所以ON²=（

2

x）²=4+2

2

，易得△BMN为等腰直角三角形，得到BN=

2

2

MN=

2

，设正方形ABCO的边长为a，在Rt△OCN中，利用勾股定理可求出a的值为

2

+1，从而得到C点坐标为（0，

2

+1）．

解答： 解：∵点M、N都在y=

k

x

的图象上，
∴S_△ONC=S_△OAM=

1

2

k，即

1

2

OC•NC=

1

2

OA•AM，
∵四边形ABCO为正方形，
∴OC=OA，∠OCN=∠OAM=90°，
∴NC=AM，
∴△OCN≌△OAM，
∴①正确；
∵S_△OND=S_△OAM=

1

2

k，
而S_△OND+S_{四边形DAMN}=S_△OAM+S_△OMN，
∴四边形DAMN与△MON面积相等，
∴②正确；
∵△OCN≌△OAM，
∴ON=OM，
∵k的值不能确定，
∴∠MON的值不能确定，
∴△ONM只能为等腰三角形，不能确定为等边三角形，
∴ON≠MN，
∴③错误；
作NE⊥OM于E点，如图所示：
∵∠MON=45°，∴△ONE为等腰直角三角形，
∴NE=OE，
设NE=x，则ON=

2

x，
∴OM=

2

x，
∴EM=

2

x-x=（

2

-1）x，
在Rt△NEM中，MN=2，
∵MN²=NE²+EM²，即2²=x²+[（

2

-1）x]²，
∴x²=2+

2

，
∴ON²=（

2

x）²=4+2

2

，
∵CN=AM，CB=AB，
∴BN=BM，
∴△BMN为等腰直角三角形，
∴BN=

2

2

MN=

2

，
设正方形ABCO的边长为a，则OC=a，CN=a-

2

，
在Rt△OCN中，∵OC²+CN²=ON²，
∴a²+（a-

2

）²=4+2

2

，解得a₁=

2

+1，a₂=-1（舍去），
∴OC=

2

+1，
∴C点坐标为（0，

2

+1），
∴④正确．
故答案为：①②④．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义和正方形的性质；本题难度较大，综合性强；熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行推理计算．