Question

1．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE=$\frac{1}{2}$AC，连接CE、OE，连接AE，交OD于点F．若AB=2，∠ABC=60°，则AE的长为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{7}$
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，证明四边形OCED是矩形，再根据菱形的性质得出AC=AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可．

解答 解：在菱形ABCD中，OC=$\frac{1}{2}$AC，AC⊥BD，
∴DE=OC，
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形，
∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AD=AB=AC=2，OA=$\frac{1}{2}$AC=1，
在矩形OCED中，由勾股定理得：CE=OD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE=$\sqrt{A{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{7}$；
故选：C．

点评 本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明四边形是矩形是解决问题的关键．