Question

3．如图，已知直线l₁：y=3x+1和直线l₂：y=mx+n交于点P（-2，a），根据以上信息解答下列问题：
（1）求a的值，判断直线l₃：y=-$\frac{1}{2}$nx-2m是否也经过点P？请说明理由；
（2）若l₁与y轴交于点A，若l₂与x轴交于点B，S_△ABP=10，求直线l₂的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）把点P的坐标代入直线l₁：y=x+1，计算即可求出a的值，把点P坐标代入直线l₂，得到关于m、n的等式，再把点P代入直线l₃，如果得到同样的m、n的关系式，则点P在直线l₃上，否则不在．
（2）先根据坐标轴上点的坐标特征确定A点坐标为（0，1），C点坐标为（-$\frac{1}{3}$，0），B点坐标为（-$\frac{n}{m}$，0），然后根据三角形面积公式和S_△PAB=S_△PCB+S_△ABC=10以及-2m+n=-5，即可求得m、n的值．

解答 解：（1）∵点P（-2，a）在直线l₁上，
∴-6+1=a，
解得a=-5，
∴点P（-2，-5），
∵点P（-2，-5）在直线l₂：y=mx+n上，
∴-2m+n=-5，
当x=-2时，直线l₃：y=-$\frac{1}{2}$nx-2m=-2m+n=-5，
所以直线l₃：y=-$\frac{1}{2}$nx-2m也经过点P（-2，5）．
（2）把y=0代入y=3x+1得3x+1=0，解得x=-$\frac{1}{3}$，则l₁与x轴交于点C为（-$\frac{1}{3}$，0），
把x=0代入y=3x+1得y=1，则A点坐标为（0，1），
把y=0代入y=mx+n得mx+n=0，解得x=-$\frac{n}{m}$，则B点坐标为（-$\frac{n}{m}$，0），
∴S_△PAB=S_△PCB+S_△ABC=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{n}{m}$+$\frac{1}{3}$）×5+$\frac{1}{2}$××（-$\frac{n}{m}$+$\frac{1}{3}$）×1=10．
∴-$\frac{n}{m}$=3，
∵-2m+n=-5，
∴m=-1，n=3，
∴的函数表达式为：y=-x+3．

点评 本题考查了两直线相交的问题，一次函数与二元一次方程组的关系，以及点在直线上的判断，把交点P的坐标代入直线l₁求出a的值是解题的关键．