题目内容

在一次数学活动课上，两个同学利用计算机软件探索函数问题，下面是他们交流片断：
图1：小韩：若直线x=m（m＞0）分别交x轴，直线y=x和y=2x于点P、M、N时，有
MN
PM
=1．
图2：小苏：若直线x=m（m＞0）分别交x轴，直线y=
2
x
（x＞0）和y=
3
x
（x＞0）于点P、M、N时，有
MN
PM
=…
问题解决

（1）填空：图2中，小苏发现的
MN
PM
=
 
；
（2）若记图1，图2中MN为d1，d2，分别求出d1，d2与m之间的函数关系式．并指出函数的增减性；
（3）如图3，直线x=m（m＞0）分别交x轴，抛物线y=x2-4x和y=x2-3x于点P，M，N，设A，B为抛物线y=x2-4x，y=x2-3x与x轴的非原点交点．当m为何值时，线段OP，PM，PN，MN中有三条能围成等边三角形？并直接写出此时点A，B，M，N围成的图形的面积．
考点：反比例函数综合题
专题：综合题
分析：（1）把当x=m分别代入反比例函数的解析式，求出M点的纵坐标和N点的纵坐标，进而求出MN的长，则
MN
PM
值可求出；
（2）当x=m时，则M点的纵坐标为m，N点的纵坐标为2m，进而求出MN的长，d1可求，同理可求出d2，利用反比例函数的增减性即可做出判断；
（3）由函数的解析式分别求出PM，PN，MN的长，根据等边三角形的性质：三边相等即可求出m的值，利用梯形的性质即可求出其面积．
解答：解：（1）当x=m时，
则M点的纵坐标为
2
m
，N点的纵坐标为
3
m
，
所以MN=
3
m
-
2
m
=
1
m
，
∴
MN
PM
=
1
2
，
故答案为：
1
2
；
（2）当x=m时，则M点的纵坐标为m，N点的纵坐标为2m，
∴MN=2m-m=m，
即d1=m，
当x=m时，则M点的纵坐标为
2
m
，N点的纵坐标为
3
m
，
∴MN=
3
m
-
2
m
=
1
m
，
∴d2=
1
m
，
∵m＞0，
∴函数d2为m为减函数；
（3）∵OP=m，PM=|4m-m2|=m|4-m|，PN=|3m-m2|=m|3-m|，MN=|m|，
由题意，得m|4-m|=m或m|3-m|=m，
解得m=5，或m=3（不合题意），或m=4（不合题意），或m=2，
当m=2时，S=3；当m=5时，S=7.5．
点评：本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的各种性质以及等边三角形的性质和梯形的面积公式的，题目的综合性较强，对学生的解题能力要求很高．
练习册系列答案
相关题目
已知二次函数y=mx2-5mx+1（m为常数，m＞0），设该函数图象与y轴交于点A，图象上一点B与点A关于该函数图象的对称轴对称．
（1）求点A、B的坐标；
（2）点O为坐标原点，点M为函数图象的对称轴上一动点，求当M运动到何处时△MAO的周长最小；
（3）若该函数图象上存在点P与点A、B构成一个等腰三角形，且△PAB的面积为10，求m的值．
如图，函数y=kx和y=-
3
4
x+3的图象相交于A （a，2），则不等式kx＜-
3
4
x+3的解集为
 
．
如图是由八个相同小正方体组合而成的几何体，则其俯视图是（　　）
A、
B、
C、
D、
下列命题中，正确的是（　　）
A、相等的角是对顶角
B、等腰三角形都相似
C、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比
D、对角线互相垂直平分的四边形是正方形
下面给出的三块正方形纸板的边长都是60cm，请分别按下列要求设计一种剪裁方法，折叠成一个礼品包装盒（纸板的厚度忽略不计）．要求尽可能多地利用纸板，用虚线表示你的设计方案，并把剪裁线用实线标出．
（1）包装礼盒的六个面由六个矩形组成（如图1），请画出对应的设计图．

（2）包装礼盒的上盖由四个全等的等腰直角三角形组成（如图2），请画出对应的设计图．

（3）包装礼盒的上盖是双层的，由四个全等的矩形组成（如图3），请画出对应的设计图．
先化简，再求代数式
a
a+2
-
1
a-1
÷
a+2
a2-2a+1
的值，其中a=2．
为庆祝建党92周年，某校团委计划在“七•一”前夕举行“唱响红歌”班级歌咏比赛，要确定一首喜欢人数最多的歌曲为每班必唱歌曲．为此提供代号为A、B、C、D四首备选曲目让学生选择，经过抽样调查，并将采集的数据绘制如下两幅不完整的统计图．请根据图①，图②所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的学生有
 
名，其中选择曲目代号为A的学生占抽样总数的百分比是
 
%；
（2）请将图②补充完整；
（3）若该校共有2400名学生，根据抽样调查的结果估计全校共有多少名学生选择此必唱歌曲？（要有解答过程）
如图，已知直线m∥n，直线m，n和直线AB分别交于A、B 两点，直线m，n和直线CD分别交于C、D 两点．点P在直线AB上．∠1是线段CP与CA的夹角，∠2是线段DP与DB的夹角，∠3是线段PC与PD的夹角．
（1）如图点P在线段AB上，且不与A，B两点重合．试找出∠1、∠2、∠3之间的关系式，并证明．
（2）如果点P运动到直线m上方时，请画出图形，找出∠1、∠2、∠3之间的关系式，并证明．
（3）如果点P运动到直线n下方时，请画出图形，找出∠1、∠2、∠3之间的关系式，不用证明．

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