Question

已知二次函数y=mx²-5mx+1（m为常数，m＞0），设该函数图象与y轴交于点A，图象上一点B与点A关于该函数图象的对称轴对称．
（1）求点A、B的坐标；
（2）点O为坐标原点，点M为函数图象的对称轴上一动点，求当M运动到何处时△MAO的周长最小；
（3）若该函数图象上存在点P与点A、B构成一个等腰三角形，且△PAB的面积为10，求m的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用当x=0时，y=1，则点A的坐标为（0，1），利用对称轴为x=

5m

2m

=

5

2

，求出B点坐标即可；
（2）根据题意得出直线OB的表达式，进而得出M点坐标即可；
（3）利用分类讨论得出情况一：当AB=AP=5时，情况二：当AB=BP=5时，由勾股定理得AH=3，情况三：AB为底，分别求出P点坐标得出m的值即可．

解答：解：（1）当x=0时，y=1，则点A的坐标为（0，1），
因为对称轴为x=

5m

2m

=

5

2

，则点B（5，1）；

（2）设直线OB的表达式为y=kx，
把B（5，1）代入，
∴1=5k，
解得：k=

1

5

，即y=

1

5

x，
当x=

5

2

时，y=

1

2

，则当M点坐标为（

5

2

，

1

2

）时△MAO的周长最小；

（3）设△PAB底边上AB上的高为PH，
S_△PAB=AB?PH?

1

2

，即10=5×PH×

1

2

，
解得PH=4，
情况一：当AB=AP=5时，由勾股定理得AH=3，
所以P点坐标为（-3，5）或（3，-3）代入得：m=

1

6

或

2

3

，
情况二：当AB=BP=5时，由勾股定理得BH=3，
所以P点坐标（8，5）或（2，-3）代入得：m=

1

6

或

2

3

，
情况三：AB为底，则点P坐标为（

5

2

，-3）代入得m=

16

25

，
综上所述，m的值为

1

6

或

2

3

或

16

25

．

点评：此题主要考查了二次函数综合以及利用轴对称求最短路径和等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．