Question

6．已知：x₁，x₂，…，x₂₀₁₆都是不等于0的有理数，请你探究以下问题：
（1）若y₁=$\frac{|{x}_{1}|}{{x}_{1}}$，则y₁=±1；
（2）若y₂=$\frac{|{x}_{1}|}{{x}_{1}}+\frac{|{x}_{2}|}{{x}_{2}}$，则y₂=0或±2；
（3）若y₃=$\frac{|{x}_{1}|}{{x}_{1}}$+$\frac{|{x}_{2}|}{{x}_{2}}$+$\frac{|{x}_{3}|}{{x}_{3}}$，求y₃的值；
（4）由以上探究可知，y₂₀₁₆=$\frac{|{x}_{1}|}{{x}_{1}}$+$\frac{|{x}_{2}|}{{x}_{2}}$+…+$\frac{|{x}_{2016}|}{{x}_{2016}}$，y₂₀₁₆共有4032个不同的值；请求出这些不同的y₂₀₁₆的值的绝对值的和．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值的意义，分类讨论，可得答案；
（2）根据绝对值的意义，分类讨论，可得答案；
（3）根据绝对值的意义，分类讨论，可得答案；
（4）根据观察，归纳，发现规律，可得答案

解答 解：（1）x₁＜0时，y₁=$\frac{|{x}_{1}|}{{x}_{1}}$=-1，x₁＞0时，y₁=$\frac{|{x}_{1}|}{{x}_{1}}$=-1，则y₁=±1，
故答案为：±1；

（2）若x₁＞0，x₂＞0时，y₂=$\frac{|{x}_{1}|}{{x}_{1}}+\frac{|{x}_{2}|}{{x}_{2}}$=2，
x₁＞0，x₂＜0时，y₂=$\frac{|{x}_{1}|}{{x}_{1}}+\frac{|{x}_{2}|}{{x}_{2}}$=0，
x₁＜0，x₂＜0时，y₂=$\frac{|{x}_{1}|}{{x}_{1}}+\frac{|{x}_{2}|}{{x}_{2}}$=-2，
综上所述，y₂=0，±2，
故答案为：0或±2；

（3）x₁＞0，x₂＞0，x₃＞0，y₃=$\frac{|{x}_{1}|}{{x}_{1}}$+$\frac{|{x}_{2}|}{{x}_{2}}$+$\frac{|{x}_{3}|}{{x}_{3}}$=3，
x₁＞0，x₂＞0，x₃＜0，y₃=$\frac{|{x}_{1}|}{{x}_{1}}$+$\frac{|{x}_{2}|}{{x}_{2}}$+$\frac{|{x}_{3}|}{{x}_{3}}$=1
x₁＞0，x₂＜0，x₃＜0，y₃=$\frac{|{x}_{1}|}{{x}_{1}}$+$\frac{|{x}_{2}|}{{x}_{2}}$+$\frac{|{x}_{3}|}{{x}_{3}}$=-1，
x₁＜0，x₂＜0，x₃＜0，y₃=$\frac{|{x}_{1}|}{{x}_{1}}$+$\frac{|{x}_{2}|}{{x}_{2}}$+$\frac{|{x}_{3}|}{{x}_{3}}$=-3
综上所述，y₃=$\frac{|{x}_{1}|}{{x}_{1}}$+$\frac{|{x}_{2}|}{{x}_{2}}$+$\frac{|{x}_{3}|}{{x}_{3}}$，y₃=±1，±3；

（4）由以上探究可知，y₂₀₁₆=$\frac{|{x}_{1}|}{{x}_{1}}$+$\frac{|{x}_{2}|}{{x}_{2}}$+…+$\frac{|{x}_{2016}|}{{x}_{2016}}$，则y₂₀₁₆共有 2017个不同的值；
在y₂₀₁₆这些不同的值中，最大的值和最小的值的差等于 2016-（-2016）=4032，
y₂₀₁₆的这些所有的不同的值的绝对值的和等于 2×（2018+2014+2010+…+4+2）+0=$\frac{2×（2018+2）×1008}{2}$+0=2036160，
故答案为：4032．

点评 本题考查了绝对值，利用了分类讨论的思想，发现规律是解题关键．