Question

15．如图，二次函数y=-x²+4x与一次函数y=$\frac{1}{2}$x的图象相交于点A．
（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；
（2）求交点A的坐标；
（3）连结抛物线的最高点P与点O、A得到△POA，求△POA的面积．

Answer 1

分析 （1）直接利用配方法求出抛物线的顶点坐标即可；
（2）直接联立两函数解析式，再求出两函数的交点坐标；
（3）利用已知求出CP的长，再利用A点坐标得出△POA的面积．

解答 解：（1）y=-x²+4x
=-（x²-4x+4-4）
=-（x-2）²+4，
故P点坐标为：（2，4）；

（2）∵二次函数y=-x²+4x与一次函数y=$\frac{1}{2}$x的图象相交于点A，
∴-x²+4x=$\frac{1}{2}$x，
则x²-$\frac{7}{2}$x=0，
解得：x₁=0，x₂=$\frac{7}{2}$，
当x=$\frac{7}{2}$，y=$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{2}$=$\frac{7}{4}$，
故A（$\frac{7}{2}$，$\frac{7}{4}$）；

（3）如图所示：过点P作PB⊥x轴于点B，连接PA，OP，PB交AO于点C，
当x=2时，y=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴BC=1，
则PC=4-1=3，A到y轴距离为：$\frac{7}{2}$，
故△POA的面积为：S_△OCP+S_△ACP=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{7}{2}$=$\frac{21}{4}$．

点评 此题主要考查了二次函数的性质以及三角形面积求法，正确分割三角形是解题关键．