Question

8．如图，矩形OABC的两边OA、OC在坐标轴上，且OC=2OA，M、N分别为OA、OC的中点，BM与AN交于点E，若四边形EMON的面积为2，则经过点B的双曲线的解析式为（　　）

• A． y=-$\frac{10}{x}$
• B． y=-$\frac{8}{x}$
• C． y=-$\frac{6}{x}$
• D． y=-$\frac{4}{x}$

Answer 1

分析 过M作MG∥ON，交AN于G，过E作EF⊥AB于F，由题意可知：AM=OM=a，ON=NC=2a，AB=OC=4a，BC=AO=2a，再根据三角形相似以及三角形面积之间的关系求出B点坐标，即双曲线解析式求出．

解答 解：过M作MG∥ON，交AN于G，过E作EF⊥AB于F，
设EF=h，OM=a，
由题意可知：AM=OM=a，ON=NC=2a，AB=OC=4a，BC=AO=2a
△AON中，MG∥ON，AM=OM，
∴MG=$\frac{1}{2}$ON=a，
∵MG∥AB
∴$\frac{MG}{AB}$=$\frac{ME}{BE}$=$\frac{1}{4}$，
∴BE=4EM，
∵EF⊥AB，
∴EF∥AM，
∴$\frac{FE}{AM}$=$\frac{BE}{BM}$=$\frac{4}{5}$．
∴FE=$\frac{4}{5}$AM，即h=$\frac{4}{5}$a，
∵S_△ABM=4a×a÷2=2a²，
S_△AON=2a×2a÷2=2a²，
∴S_△ABM=S_△AON，
∴S_△AEB=S_{四边形EMON}=2，
S_△AEB=AB×EF÷2=4a×h÷2=2，
ah=1，又有h=$\frac{4}{5}$a，a=$\frac{\sqrt{5}}{2}$（长度为正数）
∴OA=$\sqrt{5}$，OC=2$\sqrt{5}$，
因此B的坐标为（-2$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$），
经过B的双曲线的解析式就是y=-$\frac{10}{x}$．

点评 本题主要考查反比例函数的综合题的知识，解答本题的关键是辅助线的作法和相似三角形的性质的应用，此题难度中等．