Question

14．已知四边形ABCD是菱形，在平面直角坐标系中的位置如图，边AD经过原点O，已知A（0，-3），B（4，0），反比例函数图象经过点C，直线AC交双曲线另一支于点E，连接DE，CD，设反比例函数解析式为y₁=$\frac{k}{x}$，直线AC解析式为y₂=ax+b．
（1）求反比例函数解析式；
（2）当y₁＜y₂时，求x的取值范围；
（3）求△CDE的面积．

Answer 1

分析 （1）先求得C得坐标，然后根据待定系数法即可求得；
（2）求得直线的解析式，然后联立方程，解方程组求得交点坐标，根据图象即可求得；
（3）根据S_△CDE=S_△ADE+S_△ADC求得即可．

解答 解：（1）∵A（0，-3），B（4，0），
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5=BC，
∴C（4，5），
∵反比例函数y₁=$\frac{k}{x}$图象经过点C，
∴k=4×5=20，
∴反比例函数解析式为y₁=$\frac{20}{x}$；

（2）把A（0，-3），C（4，5）代入y₂=ax+b得，
$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{4a+b=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-3}\end{array}\right.$
直线AC解析式为y₂=2x-3，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-3}\\{y=\frac{20}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=4}\\{{y}_{1}=5}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\frac{5}{2}}\\{{y}_{2}=-8}\end{array}\right.$，
∴E（-$\frac{5}{2}$，-8）
当当y₁＜y₂时，x＞4或-$\frac{5}{2}$＜x＜0；

（3）S_△CDE=S_△ADE+S_△ADC=$\frac{1}{2}$××$5×\frac{5}{2}$+$\frac{1}{2}$×5×4=$\frac{65}{4}$．

点评 本题考查了菱形的性质，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数和反比例函数的交点等，求得C点的坐标是解题的关键．