Question

19．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B在第一象限，点D在边BC上，且∠AOD=30°，四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称（点A′和A，B′和B分别对应）．若AB=1，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象恰好经过点A′，B，则k的值为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 设B（m，1），得到OA=BC=m，根据轴对称的性质得到OA′=OA=m，∠A′OD=∠AOD=30°，求得∠A′OA=60°，过A′作A′E⊥OA于E，解直角三角形得到A′（$\frac{1}{2}$m，$\frac{\sqrt{3}}{2}$m），列方程即可得到结论．

解答 解：∵四边形ABCO是矩形，AB=1，
∴设B（m，1），
∴OA=BC=m，
∵四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称，
∴OA′=OA=m，∠A′OD=∠AOD=30°，
∴∠A′OA=60°，
过A′作A′E⊥OA于E，
∴OE=$\frac{1}{2}$m，A′E=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，
∴A′（$\frac{1}{2}$m，$\frac{\sqrt{3}}{2}$m），
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象恰好经过点A′，B，
∴$\frac{1}{2}$m•$\frac{\sqrt{3}}{2}$m=m，
∴m=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴k=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，轴对称的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．