Question

3．阅读理解：
我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形，如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把$\frac{1}{sinα}$的值叫做这个平行四边形的变形度．
（1）若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120度，则这个平行四边形的变形度是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
猜想证明：
（2）设矩形的面积为S₁，其变形后的平行四边形面积为S₂，试猜想S₁，S₂，$\frac{1}{sinα}$之间的数量关系，并说明理由；
拓展探究：
（3）如图2，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且AB²=AE•AD，这个矩形发生变形后为平行四边形A₁B₁C₁D₁，E₁为E的对应点，连接B₁E₁，B₁D₁，若矩形ABCD的面积为4$\sqrt{m}$（m＞0），平行四边形A₁B₁C₁D₁的面积为2$\sqrt{m}$（m＞0），试求∠A₁E₁B₁+∠A₁D₁B₁的度数．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得到α=60°，根据三角函数的定义即可得到结论；
（2）如图1，设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，根据平行四边形和矩形的面积公式即可得到结论；
（3）由已知条件得到△B₁A₁E₁∽△D₁A₁B₁，由相似三角形的性质得到∠A₁B₁E₁=∠A₁D₁B₁，根据平行线的性质得到∠A₁E₁B₁=∠C₁B₁E₁，求得∠A₁E₁B₁+∠A₁D₁B₁=∠C₁E₁B₁+∠A₁B₁E₁=∠A₁B₁C₁，证得∠A₁B₁C₁=30°，于是得到结论．

解答 解：（1）∵平行四边形有一个内角是120度，
∴α=60°，
∴$\frac{1}{sinα}$=$\frac{1}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；

（2）$\frac{1}{sinα}$=$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$，
理由：如图1，设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，∴S₁=ab，S₂=ah，sinα=$\frac{h}{b}$，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{ab}{ah}$=$\frac{b}{h}$，∵$\frac{1}{sinα}$=$\frac{b}{h}$，∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{1}{sinα}$；

（3）∵AB²=AE•AD，
∴A₁B₁²=A₁E₁•A₁D₁，即$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{{A}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{{A}_{1}{E}_{1}}{{A}_{1}{B}_{1}}$，
∵∠B₁A₁E₁=∠D₁A₁B₁，
∴△B₁A₁E₁∽△D₁A₁B₁，
∴∠A₁B₁E₁=∠A₁D₁B₁，
∵A₁D₁∥B₁C₁，
∴∠A₁E₁B₁=∠C₁B₁E₁，
∴∠A₁E₁B₁+∠A₁D₁B₁=∠C₁B₁E₁+∠A₁B₁E₁=∠A₁B₁C₁，
由（2）知$\frac{1}{sinα}$=$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$可知$\frac{1}{sin∠{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{4\sqrt{m}}{2\sqrt{m}}$=2，
∴sin∠A₁B₁C₁=$\frac{1}{2}$，
∴∠A₁B₁C₁=30°，
∴∠A₁E₁B₁+∠A₁D₁B₁=30°．

点评 本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．