Question

12．如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将$\widehat{CD}$沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP=OA，连接PC
（1）求CD的长；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）点G为$\widehat{ADB}$的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交$\widehat{BC}$于点F（F与B、C不重合）．问GE•GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据翻折的性质求出OM，CD⊥OA，再利用勾股定理列式求解即可；
（2）利用勾股定理列式求出PC，然后利用勾股定理逆定理求出∠PCO=90°，再根据圆的切线的定义证明即可；
（3）连接GA、AF、GB，根据等弧所对的圆周角相等可得∠BAG=∠AFG，然后根据两组角对应相等两三角相似求出△AGE和△FGA相似，根据相似三角形对应边成比例可得$\frac{AG}{GE}$=$\frac{FG}{AG}$，从而得到GE•GF=AG²，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．

解答 （1）解：如图，连接OC，
∵$\widehat{CD}$沿CD翻折后，点A与圆心O重合，
∴OM=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$×2=1，CD⊥OA，
∵OC=2，
∴CD=2CM=2$\sqrt{O{C}^{2}-O{M}^{2}}$=2$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{3}$；

（2）证明：∵PA=OA=2，AM=OM=1，CM=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{3}$，∠CMP=∠OMC=90°，
∴PC=$\sqrt{M{C}^{2}+P{M}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{3}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵OC=2，PO=2+2=4，
∴PC²+OC²=（2$\sqrt{3}$）²+2²=16=PO²，
∴∠PCO=90°，
∴PC是⊙O的切线；

（3）解：GE•GF是定值，证明如下，
连接GO并延长，交⊙O于点H，连接HF
∵点G为$\widehat{ADB}$的中点
∴∠GOE=90°，
∵∠HFG=90°，且∠OGE=∠FGH
∴△OGE∽△FGH
∴$\frac{OG}{GF}$=$\frac{GE}{GH}$
∴GE•GF=OG•GH=2×4=8．

点评 本题是圆的综合题型，主要利用了翻折变换的性质，垂径定理，勾股定理，勾股定理逆定理，圆的切线的定义，相似三角形的判定与性质，难点在于（3）作辅助线构造出相似三角形．