题目内容
9．如图，矩形ABOD的两边OB，OD都在坐标轴的正半轴上，OD=3，另两边与反比例函数的图象分别相交于点E，F，且DE=2，过点E作EH⊥x轴于点H，过点F作FG⊥EH于点G．解答下列问题：（1）该反比例函数的解析式是什么？
（2）当四边形AEGF为正方形时，点F的坐标是多少？
（3）在（2）的条件下，坐标平面内是否存在点C，使得点C，D，H，F构成平行四边形？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）在（2）的条件下，进一步探究：点P是线段AD上任意一点，连接HP，在第一象限内作PQ⊥HP，且PQ=HP，当点P从点D运动点A的过程中，请直接写出点Q经过的路径长．
分析 （1）设反比例函数解析式为y=$\frac{k}{x}$，把点E坐标代入即可解决问题．
（2）设正方形边长为a，则点F坐标（2+a，3-a），代入反比例函数解析式，即可解决问题．
（3）存在．满足条件的点C有三个．
（4）点Q运动的轨迹是线段Q′Q″，在Rt△Q′FQ″中，根据Q′Q″=$\sqrt{2}$FQ′，即可解决问题．
解答 解：（1）设反比例函数解析式为y=$\frac{k}{x}$，
由题意点E坐标（2，3），代入y=$\frac{k}{x}$，得到k=6，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{6}{x}$．
（2）设正方形边长为a，则点F坐标（2+a，3-a），
把F（2+a，3-a）代入y=$\frac{6}{x}$得（2+a）（3-a）=6，
解得a=1或0（舍弃），
∴点F坐标（3，2）．
（3）存在．如下图中，当点C坐标（1，5）或（-1，1）或（5，-1）时，点C，D，H，F构成平行四边形．
（4）如图，
①当点P与D重合时，由△DHO≌△DQ′A，可知∠DAQ′=∠DOH=90°，
此时B、A、Q′共线，AQ′=OH=2，
②当点P在线段AD上时，作QM⊥DA于M，作QN⊥BA于N．由△PHE≌△QPM可知PM=HE=AD，QM=PE，
∴PD=AM=NQ，
∵AQ′=OH=DE，AN=MQ=PE，
∴NQ′=DP=AM=NQ，
∴△NQQ′是等腰三角形，
∴∠QQ′B=45°，
③当点P与A重合时，由△AHE≌△AQ″F可知∠AEH=∠Q″FA=90°，
综上所述，点Q运动的轨迹是线段Q′Q″，
在Rt△Q′FQ″中，Q′Q″=$\sqrt{2}$FQ′=3$\sqrt{2}$．
点评 本题考查反比例函数综合题、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、轨迹等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，学会利用起始点或终点寻找轨迹，属于中考压轴题．
如图，已知AB∥FG，AC∥EH，BG=HC，求证：$\frac{AF}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$．