Question

19．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E，若∠EAD=3∠BAE，则∠AOE=45°．

Answer 1

分析 根据矩形性质求出OA=OB，∠BAD=90°，求出∠BAE=22.5°，∠DAE=67.5°，再求出∠ABO的度数以及∠OAB的度数，得出∠OAE的度数，即可得出结果．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵∠DAE=3∠BAE，∠BAE+∠DAE=∠BAD，
∴∠BAE=22.5°，∠DAE=67.5°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABO=∠AEB-∠BAE=90°-22.5°=67.5°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=$\frac{1}{2}$AC，OB=$\frac{1}{2}$BD，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠ABO=67.5°，
∴∠OAE=67.5°-22.5°=45°，
∴∠AOE=90°-∠OAE=45°；
故答案为：45°．

点评 本题考查了矩形性质、等腰三角形性质、三角形的内角和定理；熟练掌握矩形的性质，弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键．