Question

20．如图，点A为反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）图象上的一点，过点A作AD⊥x轴于点D，连接OA，△AOD的面积为$\frac{3}{2}$．
（1）求k的值；
（2）当点A的横坐标为1时，以A为直角顶点作等腰直角三角形AOB，点B在第一象限，求过点B的反比例函数y=$\frac{m}{x}$的解析式；
（3）在（2）的条件下，过点A作AC∥x轴，交反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象于点C，连接BC，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）设A（x，y），可表示出△AOD的面积，再结合xy=k可求得k的值；
（2）由（1）可求得A点坐标，过B作BE⊥AD，交AD于点E，可证明△AOD≌△BAE，可求得BE和AE的长，从而可求得B点坐标，代入可求得反比例函数解析式；
（3）过B作BF⊥AC于点F，可先求得点C的坐标，结合（2）中B点坐标，可分别求得BF和AC的长，可求得△ABC的面积．

解答 解：
（1）设A（x，y），则OD=x，AD=y，
∴S_△AOD=$\frac{1}{2}$OD•AD=$\frac{1}{2}$xy=$\frac{3}{2}$，
∴k=xy=3；
（2）由（1）可知过A点的反比例函数解析式为y=$\frac{3}{x}$，
当x=1时，y=3，
∴A点坐标为（1，3），
∴OD=1，AD=3，
过B作BE⊥AD于点E，如图1，

∵△AOB为等腰直角三角形，
∴AB=AD，∠OAB=90°，
∴∠OAD+∠EAB=∠EAB+∠ABE=90°，
∴∠OAD=∠ABE，
在△AOD和△BAE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAD=∠ABE}\\{∠ODA=∠AEB}\\{OA=AB}\end{array}\right.$
∴△AOD≌△BAE（AAS），
∴AE=OD=1，BE=AD=3，
∴B（4，2），
∴m=4×2=8，
∴过B点的反比例函数解析式为y=$\frac{8}{x}$；
（3）由（2）可知A（1，3），
∴C点纵坐标为3，
又C点在反比例函数y=$\frac{8}{x}$，
∴C点横坐标为$\frac{8}{3}$，
∴AC=$\frac{8}{3}$-1=$\frac{5}{3}$，
过B作BF⊥AC于点F，如图2，

∵B（4，2），
∴BF=3-2=1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BF=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{3}$×1=$\frac{5}{6}$．

点评 本题主要考查反比例函数综合应用，涉及求函数解析式、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质和图象的交点等知识点．在（1）中利用好k=xy是解题的关键，在（2）中利用全等三角形的对应边相等求得B点的坐标是解题的关键，在（3）中求得AC、BF的长是解题的关键．本题所考查知识较为基础，难度不大．