Question

20．在平面直角坐标系xOy中，已知点A在x轴正半轴上，OA=8，点E在坐标平面内，且AE=12，∠EAO=60°
（1）求点E的坐标以及过点O，A，E三点的抛物线表达式；
（2）点F（t，0）在x轴上运动，直线FC与直线AE关于某条垂直于x轴的直线对称，且相交于点G，设△GEF的面积为S，当0≤t≤8时，请写出S关于t的函数表达式并求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）分为点E在x轴的上方和下方两种情况求得点E的坐标，设出抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，将点A、E、O的坐标代入抛物线的解析式求解即可；
（2）当点E在x轴的上方时，可求得AE的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+8$\sqrt{3}$．设直线CF的解析式为y=$\sqrt{3}$x+b，将点F的坐标代入可求得b的值，得到CF的解析式，然后再求得点G的坐标，依据△FEG的面积=△FFA的面积-△GFA的面积可得到△FEG的面积与t的关系式，当点E′在x轴下方时△E′FC的面积=△EFC的面积，故此可得到S与t的关系式，然后利用配方法可求得S的最大值．

解答 解：（1）如图1所示：当点E在x轴上方时，过点E作EB⊥x轴，垂足为B．

∵∠OAE=60°，AE=12，
∴BA=6，BE=6$\sqrt{3}$．
∴点E的坐标为（2，6$\sqrt{3}$）．
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c+c=0，将点A和点E的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{64a+8b+c=0}\\{c=0}\\{4a+2b+c=6\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：a=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=4$\sqrt{3}$．
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+4$\sqrt{3}$x．
当点E位于x轴的下方时，点E的坐标与（2，6$\sqrt{3}$）关于x轴对称，
∴点E的坐标为（2，-6$\sqrt{3}$）．
此时抛物线的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²-4$\sqrt{3}$x．
综上所述点E的坐标为（2，6$\sqrt{3}$）或（2，-6$\sqrt{3}$），抛物线的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+4$\sqrt{3}$x或y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²-4$\sqrt{3}$x．
（2）当点E在x轴的上方时，如图2所示：

设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=6\sqrt{3}}\\{8k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\sqrt{3}$，b=8$\sqrt{3}$．
∴直线AE的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+8$\sqrt{3}$．
∵直线CF与直线AE关于垂直于x轴的直线对称，
∴设直线CF的解析式为y=$\sqrt{3}$x+b，将点F的坐标代入得：$\sqrt{3}$t+b=0，解得：b=$-\sqrt{3}$t．
∴直线CF的解析式为y=$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$t．
将y=$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$t与y=-$\sqrt{3}$x+8$\sqrt{3}$联立，解得：x=$\frac{1}{2}$t+4，y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t+4$\sqrt{3}$．
∴G（$\frac{1}{2}$t+4，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t+4$\sqrt{3}$）．
∴△FEG的面积=△FFA的面积-△GFA的面积=$\frac{1}{2}$（8-t）×6$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（8-t）×（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t+4$\sqrt{3}$）=$\frac{1}{2}$×（8-t）（$\frac{\sqrt{3}}{2}$t+2$\sqrt{3}$）．
整理得：△FEG的面积=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+2$\sqrt{3}$+16$\sqrt{3}$．
当点E′位于x轴下方时，△E′FC与△EFC关于x轴对称，三角形E′FC的面积=△EFC的面积．
∴S=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+2$\sqrt{3}$+16$\sqrt{3}$．
配方得：S=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t-2）²+18$\sqrt{3}$．
∴t=2时，S有最大值，最大值为18$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，特殊锐角三角函数的应用，轴对称的性质，依据△FEG的面积=△FFA的面积-△GFA的面积，列出S与t的函数关系式是解题的关键．