Question

6．已知抛物线y=$\frac{1}{2}{x^2}$+bx经过点A（4，0）．设点C（1，-4），欲在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD-CD|的值最大，则D点的坐标是（2，-8）．

Answer 1

分析 首先利用待定系数法求得抛物线的解析式，然后可求得抛物线的对称轴方程x=2，又由作点C关于x=2的对称点C′，直线AC′与x=3的交点即为D，求得直线AC′的解析式，即可求得答案．

解答 解：∵解：∵抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx经过点A（4，0），
∴$\frac{1}{2}$×4²+4b=0，
∴b=-2，
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²-2x=$\frac{1}{2}$（x-2）²-2，
∴抛物线的对称轴为：直线x=2，
∵点C（1，-4），
∴作点C关于x=2的对称点C′（3，-4），
直线AC′与x=2的交点即为D，
因为任意取一点D（AC与对称轴的交点除外）都可以构成一个△ADC．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD-CD|＜AC′．所以最大值就是在D是AC′延长线上的点的时候取到|AD-C′D|=AC′最大，
设直线AC′的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{3k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=4}\\{b=-16}\end{array}\right.$，
∴直线AC′的解析式为y=4x-16，
当x=2时，y=-8，
∴D点的坐标为（2，-8）．
故答案为：（2，-8）．

点评 此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称轴，以及距离差最小问题．此题综合性很强，解题的关键是数形结合思想的应用．