Question

7．如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（-3，0）、B（-1，0），与y轴相交于点C（0，3），点P是该图象上的动点；一次函数y=kx-4k（k≠0）的图象过点P交x轴于点Q．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）当点P的坐标为（-4，m）时，求证：∠OPC=∠AQC；
（3）点M、N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M、N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．
①连接AN，当△AMN的面积最大时，求t的值；
②线段PQ能否垂直平分线段MN？如果能，请求出此时直线PQ的函数关系式；如果不能请说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）利用交点式求出抛物线的解析式；
（2）证明四边形POQC是平行四边形，则结论得证；
（3）①求出△AMN面积的表达式，利用二次函数的性质，求出△AMN面积最大时t的值．注意：由于自变量取值范围的限制，二次函数并不是在对称轴处取得最大值；
②直线PQ上的点到∠AQC两边的距离相等，则直线PQ能平分∠AQC，所以直线PQ能垂直平分线段MN．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x+1），
∵抛物线经过点C（0，3），
∴3=a×3×1，解得a=1，
∴抛物线的解析式为：y=（x+3）（x+1）=x²+4x+3；
（2）证明：当x=-4时，y=3，
∴P（-4，3），
∵C（0，3），
∴PC=4且PC∥x轴，
∵一次函数y=kx-4k（k≠0）的图象交x轴于点Q，当y=0时，x=4，
∴Q（4，0），即OQ=4，
∴PC=OQ，又∵PC∥x轴，
∴四边形POQC是平行四边形，
∴∠OPC=∠AQC； 
（3）①过点N作ND⊥x轴于点D，则ND∥y轴．
∴△QND∽△QCO
∴$\frac{ND}{CO}$=$\frac{NQ}{CQ}$，
在Rt△OCQ中，
CQ=$\sqrt{CO2+OQ2}$=$\sqrt{32+42}$=5，
∴$\frac{ND}{3}$=$\frac{5-t}{5}$，
∴ND=$\frac{3}{5}$（5-t），
∴S_△AMN=$\frac{1}{2}$AM•ND=$\frac{1}{2}$•3t•$\frac{3}{5}$（5-t）=-$\frac{9}{10}$ （t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{48}{5}$，
∵0≤x≤$\frac{7}{3}$，
∴当t=$\frac{7}{3}$时，△AMN的面积最大；  
②能．假设PQ垂直平分线段MN，则QM=NQ，
∴7-3t=5-t，
∴t=1．此时AM=3，
即点M与点O重合，QM=NQ=4．
如图，设PQ交y轴于点E，
∵∠MND=90°-∠NMD=∠MQE，
∴Rt△MND∽Rt△EQM，
∴$\frac{ND}{MD}$=$\frac{MQ}{ME}$．
∵ND=$\frac{12}{5}$，DQ=$\frac{16}{5}$，
∴MD=$\frac{4}{5}$，∴MD=$\frac{4}{3}$．
∴E（0，$\frac{4}{3}$），
∵Q（4，0），
∴直线QE为y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{4}{3}$．
即直线PQ为y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{4}{3}$．

点评 本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、相似三角形、平行四边形、角平分线的性质、二次函数的最值等知识点．试题难度不大，需要注意的是（3）①问中，需要注意在自变量取值区间上求最大值，而不能机械地套用公式．