Question

5．如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，与点C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线交于点Q，连接PQ，M为线段PQ中点
（1）求证：△ADP∽△ABQ；
（2）若AD=10，AB=a，DP=8，随着a的大小变化，点M的位置也在变化，当点M落在AB边上时，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出∠BAD=∠ABC=∠D=90°，得出∠ABQ=90°，证出∠DAP=∠BAQ，即可得出△ADP∽△ABQ；
（2）由相似三角形的性质得出比例式求出BQ=$\frac{4}{5}$a，作PH⊥AB于H，则∠MHP=90°，HP=AD=10，由AAS证明△BQM≌△HPM，得出BQ=HP=10，$\frac{4}{5}$a=10，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABQ=90°，
∵AQ⊥AP，
∴∠PAQ=90°=∠BAD，
∴∠DAP=∠BAQ，
∴△ADP∽△ABQ；

（2）解：∵△ADP∽△ABQ，
∴$\frac{DP}{BQ}=\frac{AD}{AB}$，即$\frac{8}{BQ}=\frac{10}{a}$，
∴BQ=$\frac{4}{5}$a，
作PH⊥AB于H，则∠MHP=90°，HP=AD=10，
∵M为线段PQ中点，
∴MQ=MP，
在△BQM和△HPM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MBQ=∠MHP=90°}&{\;}\\{∠BMQ=∠HMP}&{\;}\\{MQ=MP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BQM≌△HPM（AAS），
∴BQ=HP=10，
∴$\frac{4}{5}$a=10，
∴a=$\frac{25}{2}$．

点评 本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．