Question

5．有甲、乙两块玉米试验田，甲试验田是边长为（a-1）米的正方形土地（a＞1），如图1，玉米的总产量为90千克．乙试验田也是一块正方形的土地，边长为a米，但在其一角有一边长为1米的正方形蓄水池，如图2，乙的玉米总产量为110千克．
（1）若甲、乙两块试验田的单位面积产量相等，求a的值；
（2）若甲、乙两块试验田的单位面积产量不相等，那么那块试验田单位面积产量高，为什么？

Answer 1

分析 （1）单位面积产量=总产量÷面积；
（2）根据题意表示出甲乙两农科所的单位产量，比较即可得到结果．

解答 解：（1）依题意得：$\frac{90}{（a-1）^{2}}$=$\frac{110}{{a}^{2}-1}$，
整理，得（a-1）（a-10）=0，
解得a₁=1，a₂=10；
经检验a₁=1不合题意，舍去．
答：若甲、乙两块试验田的单位面积产量相等，求a的值是10；

（2）甲的单位面积产量为$\frac{90}{（a-1）^{2}}$，乙的面积产量为$\frac{110}{{a}^{2}-1}$，
所以$\frac{90}{（a-1）^{2}}$-$\frac{110}{{a}^{2}-1}$=-$\frac{20（a-1）（a-10）}{（a+1）^{2}（{a}^{2}-1）}$．
因为a＞1，
所以a-1＞0，a²-1＞0，（a-1）²＞0．
当a=10时，甲的单位面积产量=乙的面积产量；
当a＞10时，-$\frac{20（a-1）（a-10）}{（a+1）^{2}（{a}^{2}-1）}$＜0，即$\frac{90}{（a-1）^{2}}$＜$\frac{110}{{a}^{2}-1}$，此时，甲的单位面积产量＜乙的面积产量；
当a＜10时，-$\frac{20（a-1）（a-10）}{（a+1）^{2}（{a}^{2}-1）}$＞0，即$\frac{90}{（a-1）^{2}}$＞$\frac{110}{{a}^{2}-1}$，此时，甲的单位面积产量＞乙的面积产量．

点评 本题考查了分式方程的应用．解答（2）题时，要对a的不同取值进行分类讨论，以防错解．