Question

7．如图，∠ABC=90°，MF⊥AC于F，交BC于D，交AB的延长线于M，连接CM，AF=DF．
（1）求证：∠FMC=∠FCM；
（2）过D作DE∥CM，交AC于E，求证：AD⊥DE．

Answer 1

分析 （1）证出∠AMF=∠DCF，由AAS证明△AMF≌△DCF，得出对应边相等MF=CF，由等腰三角形的性质即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质和思考虚拟机定理求出∠FCM=45°，由平行线的性质得出∠FED=∠FCM=45°，求出∠FDE=∠FED，得出EF=DF=AF，由线段垂直平分线的性质得出AD=ED，得出∠DAE=∠FED=45°，由三角形内角和定理求出∠ADE=90°，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵MF⊥AC，
∴∠AFM=∠DFC=90°，
∴∠AMF+∠BAC=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠DCF+∠BAC=90°，
∴∠AMF=∠DCF，
在△AMF和△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFM=∠DFC}&{\;}\\{∠AMF=∠DCF}&{\;}\\{AF=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AMF≌△DCF（AAS），
∴MF=CF，
∴∠FMC=∠FCM；
（2）证明：∵∠DFC=90°，MF=CF，
∴∠FCM=45°，
∵DE∥CM，
∴∠FED=∠FCM=45°，
∴∠FDE=90°-45°=∠FED，
∴EF=DF=AF，
∴AD=ED，
∴∠DAE=∠FED=45°，
∴∠ADE=90°，
∴AD⊥DE．

点评 该题主要考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的性质等知识；证明三角形全等是解决问题的突破口．