Question

1．如图，△ABC内接于⊙O，AD交BC于点D，点P是$\widehat{BC}$的中点，求证：AP平分∠OAD．

Answer 1

分析 连接OP，如图，利用角平分线的定义得到∠BAP=∠CAP，则根据圆周角定理得弧BP=弧CP，于是可根据垂径定理得到OP⊥BC，易得OP∥AD，根据平行线的性质得∠P=∠2，加上∠1=∠P，所以∠1=∠2．

解答 证明：连接OP，如图，
∵点P是$\widehat{BC}$的中点，
∴AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠CAP，
∴弧BP=弧CP，
∴OP⊥BC，
又∵AD⊥BC，
∴OP∥AD，
∴∠P=∠2，
∵OA=OP，
∴∠1=∠P，
∴∠1=∠2，
即AP平分∠DAO．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．