题目内容
12.观察下列各式:(x2-1)=(x-1)(x+1),
(x3-1)=(x-1)(x2+x+1),
(x4-1)=(x-1)(x3+x2+x+1),
(x5-1)=(x-1)(x4+x3+x2+x+1)…
(1)根据上面规律直接写出(x-1)(xn+…+x4+x3+x2+x+1)的结果是xn+1-1;
(2)计算:210+29+28+27+26+25+24+23+22+2+1;
(3)已知:x3+x2+x+1=0,求x100的值.
分析 (1)根据上面的规律即可得出答案;
(2)根据210+29+28+27+26+25+24+23+22+2+1变形为(2-1)(210+29+28+27+26+25+24+23+22+2+1);
(3)先对x3+x2+x+1分解因式(x+1)(x2+1),求得x=-1,再代入即可.
解答 解:(1)由题意可得出:(x-1)(xn+xn-1+…+x2+x+1)
=xn+1-1;
故答案为:xn+1-1;
(2)原式=(2-1)(210+29+28+…+2+1)
=211-1.
(3)∵x3+x2+x+1=0,
∴x3+x2+x+1=(x+1)(x2+1),
∵x2+1≥0,
∴x+1=0,
∴x=-1,
∴x100=1.
点评 本题考查了平方差公式,属于基础题,关键是仔细观察题目给出的式子,得出一般规律是解题的关键.
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