Question

14．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）试说明：△COD是等边三角形；
（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是以OD为底边的等腰三角形？
（4）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）由旋转的性质可知CO=CD，∠OCD=60°，可判断△COD是等边三角形；
（2）由（1）可知∠COD=60°，当α=150°时，∠ADO=∠ADC-∠CDO，可判断△AOD为直角三角形；
（3）当△AOD是以OD为底边的等腰三角形时，∠AOD=∠ADO=∠ADC-60°=α-60°，根据∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°，列方程求α；
（4）有一定的开放性，要找到变化中的不变量才能有效解决问题．

解答 解：（1）∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△ADC≌△BOC，∠OCD=60°，
∴OC=OD，
∴△COD是等边三角形；

（2）△AOD为直角三角形；
∵△COD是等边三角形；
∴∠ODC=60°，
∵∠ADC=∠BOC=α=150°，
∴∠ADO=∠ADC-∠CDO=150°-60°=90°，
∴△AOD是直角三角形；

（3）α=125°．
理由：∵△AOD是以OD为底边的等腰三角形，
∴∠AOD=∠ADO=∠ADC-60°=α-60°；
∵110°+α+（60°+∠AOD）=360°，
∴110°+α+（60°+α-60°）=360°，
解得α=125°；

（4）①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，
∵∠AOD=360°-∠AOB-∠COD-α=360°-110°-60°-α=190°-α，∠ADO=α-60°，
∴190°-α=α-60°
∴α=125°；
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO；
∵∠AOD=190°-α，∠ADO=α-60°，
∴∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）=50°，
∴α-60°=50°，
∴α=110°；
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD，
∵190°-α=50°
∴α=140°．
综上所述：当α的度数为125°，或110°，或140°时，△AOD是等腰三角形．

点评 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质，直角三角形的判定，多边形内角和，等腰三角形的判定，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．