Question

11．已知，△ABE内接于⊙O，BC为⊙O的切线．
（1）如图1，求证：∠BAE=∠CBE；
（2）如图2，连接AC交BE于点D，交⊙O于点L，若∠C+∠E=180°，求证：AB=AC；
（3）在（2）的条件下，∠ABE=2∠CAE，BD=5，AB=7，求DL的长．

Answer 1

分析 （1）过点B作直径BF，连接EF，如图1，利用切线的性质得∠FBE+∠CBE=90°，再根据圆周角定理得到∠BEF=90°，∠BAE=∠F，于是可得到∠BAE=∠CBE；
（2）连接BL，如图2，根据圆周角定理得到∠E=∠ALB，利用等角的补角相等得到∠BLC=∠C，再利用（1）的结论得∠CBL=∠CAB，所以∠BLC=∠ABC=∠C，则根据等腰三角形的判定定理得到AB=AC；
（3）作BH⊥CD于H，连接BL，如图3，设∠CAE=x，∠C=y，则∠ABE=2x，∠E=180°-y，利用∠DAE+∠E=∠CBD+∠BCD可得到y=x+60°，则∠C=x+60°，∠CBD=60°-x，利用三角形内角和定理可计算出∠BDC=60°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到DH=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{5}{2}$，BH=$\sqrt{3}$DH=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，接着根据勾股定理可计算出AH=$\frac{11}{2}$，则CH=$\frac{3}{2}$，然后根据等腰三角形的性质得CH=LH=$\frac{3}{2}$，最后计算DH-LH即可．

解答 （1）证明：过点B作直径BF，连接EF，如图1，
∵BC为⊙O的切线，
∴FB⊥BC，
∴∠FBE+∠CBE=90°，
∵BF为直径，
∴∠BEF=90°，
∴∠F+∠FBE=90°，
∴∠F=∠CBE，
∵∠BAE=∠F，
∴∠BAE=∠CBE；
（2）证明：连接BL，如图2，
∵∠E=∠ALB，
而∠ALB+∠BLC=180°，∠C+∠E=180°，
∴∠BLC=∠C，
由（1）得∠CBL=∠CAB，
∴∠BLC=∠ABC=∠C，
∴AB=AC；
（3）解：作BH⊥CD于H，连接BL，如图3，
设∠CAE=x，∠C=y，则∠ABE=2x，∠E=180°-y，
∵∠ABC=∠C=y，
∴∠CBE=y-2x，
∵∠DAE+∠E=∠CBD+∠BCD，
即x+180°-y=y-2x+y，
∴y=x+60°，
即∠C=x+60°，∠CBD=60°-x，
∴∠BDC=180°-（x+60°+60°-x）=60°，
在Rt△BDH中，DH=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{5}{2}$，BH=$\sqrt{3}$DH=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△ABH中，AH=$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}-（\frac{5\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{11}{2}$，
∵AC=AB=7，
∴CH=7-$\frac{11}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∵∠BLC=∠C，BH⊥CL，
∴CH=LH=$\frac{3}{2}$，
∴DL=DH-LH=$\frac{5}{2}$-$\frac{3}{2}$=1．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握等腰三角形的性质、圆周角定理和切线的性质，会应用勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系计算线段的长；理解（1）小题的结论解决（2）小题．