Question

3．在直角坐标系中，直线y=x+1与y轴交于点A₁，按如图方式作正方形A₁B₁C₁O、A₂B₂C₂C₁、A₃B₃C₃C₂…，点A₁、A₂、A₃…在直线y=x+1上，点C₁、C₂、C₃…在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S₁、S₂、S₃、…S_n，则S_n的值为（　　）（用含n的代数式表示，n为正整数）．

• A． n²
• B． 2^2n-3
• C． $\frac{{n}^{2}}{3}$
• D． $\frac{{n}^{2}}{2}$

Answer 1

分析 根据直线解析式判断出直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形，再求出OA₁，即第一个正方形的边长，同理依次求出第二个、第三个正方形的边长，然后根据规律写出第n个正方形的边长，如果根据阴影部分的面积等于相应正方形的面积的一半列式计算即可得解．

解答 解：∵直线y=x+1的k=1，
∴直线与x轴的夹角为45°，
∴直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形，
当x=0时，y=1，
所以，OA₁=1，
即第一个正方形的边长为1，
所以，第二个正方形的边长为1+1=2，
第三个正方形的边长为2+2=4=2²，
…，
第n个正方形的边长为2^n-1，
∴S₁=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$，
S₂=$\frac{1}{2}$×2×2=$\frac{{2}^{2}}{2}$，
S₃=$\frac{1}{2}$×2²×2²=$\frac{{2}^{4}}{2}$，
…，
S_n=$\frac{1}{2}$×2^n-1×2^n-1=$\frac{{2}^{2n-2}}{2}$=2^2n-3．
故选B．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，根据直线解析式判断出等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．