Question

17．已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）．
（1）当h=1，k=2时，求抛物线的解析式；
（2）若抛物线y=tx²（t≠0）也经过点A，过a与t之间的关系式；
（3）在（2）的条件下，已知a=-$\frac{1}{2}$，直线l：y=$\frac{4}{3}$x-1与抛物线y=tx²-$\frac{2}{3}$x-7交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，点M在抛物线y=tx²-$\frac{2}{3}$x-7上，且点M的横坐标为m（0＜m＜6）．MF∥y轴交于直线l于点F，点N在直线l上，且四边形MNFQ为矩形（如图），若矩形MNFQ的周长为P，求P的最大值．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为顶点式，再把原点坐标代入可求得a的值，可求得抛物线解析式；
（2）把A点坐标分别代入两抛物线解析式，把原点坐标代入整理可得到a与t之间的函数关系式；
（3）利用（2）的结论可求得a和t的值，可用m表示出M、F的坐标，从而可用m表示出FM，由条件可求得OD、OE和DE的长，在矩形MNFQ中，利用三角函数的定义可用MF表示出NF和MN，从而可表示出P，再利用二次函数的性质可求得其最大值．

解答 解：
（1）∵由题意可知抛物线顶点坐标为（1，2），
∴可设抛物线解析式为y=a（x-1）²+2，
∵抛物线过原点，
∴0=a（0-1）²+2，解得a=-2，
∴抛物线解析式为y=-2（x-1）²+2；

（2）∵抛物线y=tx²（t≠0）也经过点A，
∴k=th²，
∴y=a（x-h）²+k=a（x-h）²+th²，
∵当x=0时y=0，
∴0=ah²+th²，
∵h≠0，
∴a+t=0，即a=-t；

（3）由（2）可知a=-t，
∴当a=-$\frac{1}{2}$时，t=$\frac{1}{2}$，
∴M（m，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{2}{3}$m-7），F（m，$\frac{4}{3}$m-1），
∴FM=（$\frac{4}{3}$m-1）-（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{2}{3}$m-7）=-$\frac{1}{2}$m²+2m+6，
又在y=$\frac{4}{3}$x-1中，当x=0时，y=-1，y=0时x=$\frac{3}{4}$，
∴OD=$\frac{3}{4}$，OE=1，
∴DE=$\sqrt{O{D}^{2}+O{E}^{2}}$=$\frac{5}{4}$，
∵MF∥y轴，
∴∠DEO=∠MFN，
在矩形MNFQ中，NF=MF•cos∠MFN=MF•$\frac{OE}{DE}$=$\frac{4}{5}$MF，
MN=MF•sin∠MFN=MF•$\frac{OD}{DE}$=$\frac{3}{5}$MF，
∴P=2（MN+NF）=$\frac{14}{5}$MF=$\frac{14}{5}$（-$\frac{1}{2}$m²+2m+6）=-$\frac{7}{5}$m²+$\frac{28}{5}$m+$\frac{84}{5}$=-$\frac{7}{5}$（m-2）²+$\frac{112}{5}$，
∵0＜m＜6，-$\frac{7}{5}$＜0，
∴当m=2时，P取最大值，最大值为$\frac{112}{5}$．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理、三角函数的定义、矩形的性质等知识．在（1）中注意设为顶点式，在（2）中利用两抛物线都过A点消去k是解题的关键，在（3）中用MF分别表示出NF和MN是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．