Question

如图所示，抛物线y=-x²+mx+n经过点A（1，0）和点C（4，0），与y轴交于点B．
（1）求抛物线所对应的解析式．
（2）连接直线BC，抛物线的对称轴与BC交于点E，F为抛物线的顶点，求四边形AECF的面积．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数的性质

专题：计算题

分析：（1）利用交点式可直接写出抛物线的解析式；
（2）先把解析式配成顶点式得到F的坐标（

5

2

，

9

4

），在确定B点坐标，接着利用待定系数法求出直线BC的解析式，则可确定E点坐标，然后利用四边形AECF的面积=S_△ACE+S_△ACF进行计算．

解答：解：（1）抛物线解析式为y=-（x-1）（x-4）=-x²+5x-4；
（2）y=-x²+5x-4=-（x-

5

2

）²+

9

4

，则抛物线的对称轴为直线x=

5

2

，顶点F的坐标为（

5

2

，

9

4

）；
当x=0时，y=-x²+5x-4=-4，则B点坐标为（0，-4）
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（0，-4），C（4，0）代入得

b=-4 4k+b=0

，解得

k=1 b=-4

，
则直线BC的解析式为y=x-4，
当x=

5

2

时，y=x-4=

5

2

-4=-

3

2

，则E点坐标为（-

3

2

，0），
所以四边形AECF的面积=S_△ACE+S_△ACF
=

1

2

×（4-1）×

3

2

+

1

2

×（4-1）×

9

4

=

45

8

．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．