Question

13．先将一矩形ABCD置于直角坐标系中（AB=4，BC=3），使点A与坐标系中原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴上（如图1），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图2），则图2中点C的坐标为（$\frac{4\sqrt{3}-3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}+4}{2}$）．

Answer 1

分析 根据旋转的性质，首先得出OM，DM的长，进而求出ON，NC的长即可得出答案．

解答 解：∵AB=4，BC=3，
∴图1中点C的坐标为（4，3），
在图2中，设CD与y轴交于点M，作CN⊥y轴于点N，那么∠DOM=30°，OD=3，
∴DM=3•tan30°=$\sqrt{3}$，OM=3÷cos30°=2$\sqrt{3}$，
那么CM=4-$\sqrt{3}$，易知∠NCM=30°，
∴MN=CM•sin30°=$\frac{4-\sqrt{3}}{2}$，CN=CM•cos30°=$\frac{4\sqrt{3}-3}{2}$，
则ON=OM+MN=$\frac{3\sqrt{3}+4}{2}$，
∴图2中C点的坐标为：（$\frac{4\sqrt{3}-3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}+4}{2}$）．
故答案为：（$\frac{4\sqrt{3}-3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}+4}{2}$）．

点评 此题考查了矩形的性质以及旋转问题，关键是根据旋转前后对应角的度数不变，对应线段的长度不变，注意构造直角三角形求解．