Question

16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线l与x轴平行，且与抛物线交于点A、B，若△AMB为等腰直角三角形，我们就把抛物线上A、B两点之间的部分与线段AB围成的图象称为该抛物线对应的“准蝶形”，线段AB的长称为碟宽，顶点M称为碟顶．
（1）填空：抛物线y=x²的碟宽为2，碟顶坐标为（0，0）；
（2）求抛物线y=a（x-2）²+3（a＞0）的碟宽（用含a的代数式表示）；
（3）若抛物线y=ax²-4ax-$\frac{5}{3}$（a＞0）的碟宽为6，求该抛物线的碟顶坐标．

Answer 1

分析 （1）根据定义易算出含具体值的抛物线y=2x²的碟宽，利用端点（第一象限）横纵坐标的相等．推广至含字母的抛物线y=ax²（a＞0），类似．而抛物线y=a（x-2）²+3（a＞0）为顶点式，可看成y=ax²平移得到，则发现碟宽只和a有关．
（2）根据（1）的结论，根据碟宽易得关于a的方程$\frac{2}{a}$=6，解方程即可求得a的值．代入抛物线中得出解析式即可得出结论．

解答 解：（1）∵a＞0，
∴y=ax²的图象大致如下：

其必过原点O，记AB为其碟宽，AB与y轴的交点为C，连接OA，OB．
∵△OAB为等腰直角三角形，AB∥x轴，
∴OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∴△ACO与△BCO亦为等腰直角三角形，
∴AC=OC=BC，
∴x_A=y_A，x_B=y_B，代入y=ax²，
∴A（-$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{a}$），B（$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{a}$），C（0，$\frac{1}{a}$），
∴AB=$\frac{2}{a}$，OC=$\frac{1}{a}$，
即y=ax²的碟宽为$\frac{2}{a}$．
∵抛物线y=x²对应的a=1，得碟宽$\frac{2}{a}$为2；碟顶（0，0），
故答案为：2，（0，0）
（2）由（1）知抛物线y=ax²（a＞0），碟宽为$\frac{2}{a}$；
抛物线y=a（x-2）²+4（a＞0）可看成y=ax²向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的图形，
∵平移不改变形状、大小、方向，
∴抛物线y=a（x-2）²+3（a＞0）与抛物线y=ax²的碟宽一样，
∵抛物线y=ax²（a＞0），碟宽为$\frac{2}{a}$，
∴抛物线y=a（x-2）²+3（a＞0），
碟宽为$\frac{2}{a}$．

（3）∵y=ax²-4ax-$\frac{5}{3}$=a（x-2）²-（4a+$\frac{5}{3}$），
∴同（1），其碟宽为$\frac{2}{a}$，
∵y=ax²-4ax-$\frac{5}{3}$的碟宽为6，
∴$\frac{2}{a}$=6，
解得a=$\frac{1}{3}$．
把a=$\frac{1}{3}$代入y=ax²-4ax-$\frac{5}{3}$=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-$\frac{5}{3}$，
∴顶点坐标为（2，-3），
即：碟顶为（2，-3）．

点评 本题考查二次函数综合题，题目中主要涉及特殊直角三角形，二次函数解析式与图象性质，解题的关键是由抛物线y=ax²（a＞0），得到碟宽只和a有关，即碟宽$\frac{2}{a}$．