Question

15．在直角三角形ABC中，CD、CE分别是斜边AB上的高、中线，BC=a，AC=b
（1）若a=3，b=4，求DE的长．
（2）若tan∠DCE=$\frac{1}{3}$，求$\frac{a}{b}$的值．

Answer 1

分析 （1）先解Rt△ABC，求出AB=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=5，cos∠B=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{5}$．根据三角形的中线的定义得到BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$．再解Rt△BCD，求出BD=BC•cos∠B=3×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{5}$，那么DE=BE-BD=$\frac{5}{2}$-$\frac{9}{5}$=$\frac{7}{10}$；
（2）先解Rt△ABC，求出AB=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，cos∠B=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$．利用三角形的面积求出CD=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$．再解Rt△BCD，求出BD=BC•cos∠B=a•$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，那么DE=BE-BD=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$-$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{{b}^{2}-{a}^{2}}{2\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，然后根据tan∠DCE=$\frac{DE}{CD}$=$\frac{\frac{{b}^{2}-{a}^{2}}{2\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}}{\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}}$=$\frac{1}{3}$，计算即可求解．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，a=3，b=4，
∴AB=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=5，cos∠B=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{5}$．
∵CE是斜边AB上的中线，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$．
在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°，
∴BD=BC•cos∠B=3×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{5}$，
∴DE=BE-BD=$\frac{5}{2}$-$\frac{9}{5}$=$\frac{7}{10}$；

（2）在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，cos∠B=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴CD=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$．
在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°，
∴BD=BC•cos∠B=a•$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，
∴DE=BE-BD=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$-$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{{b}^{2}-{a}^{2}}{2\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，
tan∠DCE=$\frac{DE}{CD}$=$\frac{\frac{{b}^{2}-{a}^{2}}{2\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}}{\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}}$=$\frac{1}{3}$，
整理得3a²+2ab-3b²=0，
∴a=$\frac{-1±\sqrt{10}}{3}$b（负值舍去），
∴$\frac{a}{b}$=$\frac{-1+\sqrt{10}}{3}$．

点评 本题考查了解直角三角形，三角形的中线的定义，锐角三角函数的定义，三角形的面积，一元二次方程的解法，难度适中．求出DE的长度是解题的关键．