Question

11．在平面直角坐标系内．已知OABC是矩形，点A、C分别位于x轴、y轴的正半轴上，已知B（2，4），D在线段AB上，且3AD=BD，在y轴上存在E、F两点，且EF=1，连接B、D、E、F，当组成的四边形周长最小时，求此时E点坐标．

Answer 1

分析 先作点B关于y轴的对称点B'，连接B'E，BE，则B'E=BE，在DB上截取DD'=EF=1，连接ED'，则四边形EFDD'是平行四边形，故DF=D'E，根据EF和BD的长不变，可得当DF+BE最短时，四边形DFEB的周长最小，即当D'E+B'E最短时，四边形DFEB的周长最小，因此当点B'，E，D'三点在一条直线上时，D'E+B'E最短，最后求得直线B'D'的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3，进而得到E点坐标．

解答 解：如图所示，作点B关于y轴的对称点B'，连接B'E，BE，则B'E=BE，
在DB上截取DD'=EF=1，连接ED'，则四边形EFDD'是平行四边形，故DF=D'E，
∵EF和BD的长不变，
∴当DF+BE最短时，四边形DFEB的周长最小，
即当D'E+B'E最短时，四边形DFEB的周长最小，
∴当点B'，E，D'三点在一条直线上时，D'E+B'E最短，
∵B（2，4），3AD=BD，
∴B'（-2，4），D（2，1），D'（2，2），
设直线B'D'的解析式为y=kx+b，则
$\left\{\begin{array}{l}{4=-2k+b}\\{2=2k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线B'D'的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3，
令x=0，则y=3，
故E（0，3），F（0，2）；
若点E、点F的位置交换，则E（0，2），F（0，3）；
综上所述，E点坐标为（0，3）或（0，2）．

点评 此题主要考查最短路线问题，矩形的性质，轴对称的性质以及平行四边形的性质的运用，解决此类问题一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，解题的关键是作辅助线构造平行四边形，找到点E、F的位置，利用一次函数解决交点坐标．