Question

16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，点D是直角边AC上一点，且满足cos∠ABD=$\frac{4}{5}$，∠A=∠CBD，求线段BD的长度．

Answer 1

分析 过D作DF⊥AB于F，过A作AE⊥BD交BD的延长线于E，根据角平分线的性质得到DE=DF，根据全等三角形的性质得到AF=AE，根据三角函数的定义得到BE=AB•cos∠ABD=8，由勾股定理得到AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=6，求得BF=4，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 解：过D作DF⊥AB于F，过A作AE⊥BD交BD的延长线于E，
∴∠E=∠C=90°，
∵∠ADE=∠BDC，
∴∠EAD=∠CBD，
∵∠A=∠CBD，
∴∠EAD=∠FAD，
∴DE=DF，
在Rt△AED与Rt△AFD中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△AED≌Rt△AFD，
∴AF=AE，
∵cos∠ABD=$\frac{4}{5}$，AB=10，
∴BE=AB•cos∠ABD=8，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=6，
∴BF=4，
∵BD²=DF²+BF²，
∴BD²=（8-BD）²+4²，
∴BD=5．

点评 本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．