Question

20．点A及点B的坐标分别为（-2，6）及（3，8）．A向下平移13单位至A′，B绕原点顺时针方向旋转90°至B′．
（a）写出A′及B′的坐标
（b）证明AB平行于A′B′．

Answer 1

分析 （a）根据点A及点B的坐标分别为（-2，6）及（3，8），A向下平移13单位至A′，B绕原点顺时针方向旋转90°至B′，即可得到A′及B′的坐标；
（b）先根据待定系数法，分别求得直线AB的解析式为y=$\frac{2}{5}$x+$\frac{34}{5}$，直线A′B′的解析式为y=$\frac{2}{5}$x-$\frac{31}{5}$，根据系数k的值相等可得AB平行于A′B′．

解答 解：（a）∵点A及点B的坐标分别为（-2，6）及（3，8），
∴A向下平移13单位可得A′（-2，-7），B绕原点顺时针方向旋转90°可得B′（8，-3）．
（b）设直线AB的解析式为y=kx+b，
把（-2，6），（3，8）代入，
可得$\left\{\begin{array}{l}{6=-2k+b}\\{8=3k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{5}}\\{b=\frac{34}{5}}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{2}{5}$x+$\frac{34}{5}$；
设直线A′B′的解析式为y=mx+n，
把（-2，-7），（8，-3）代入，
可得$\left\{\begin{array}{l}{-7=-2m+n}\\{-3=8m+n}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{2}{5}}\\{n=-\frac{31}{5}}\end{array}\right.$，
∴直线A′B′的解析式为y=$\frac{2}{5}$x-$\frac{31}{5}$，
∵两直线的系数k的值相等，
∴AB∥A′B′．

点评 本题主要考查了坐标与图形变化，两直线平行问题，解题时注意：若直线y=k₁x+b₁与直线y=k₂x+b₂平行，则k₁=k₂．