Question

20．已知抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（8，0）和B（-12，0），与y轴交于点C（0，6）．
（1）求该抛物线的解析式：
（2）点D在线段AB上且AD=AC，若动点M从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点N以某一速度从B出发沿线段BC匀速运动，问是否存在某一时刻t（秒），使线段MN被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t和点N的运动速度；若不存在，请说明理由；
（3）在第二象限的抛物线上取一点P，使得S_△PCA=S_△PCB，再在抛物线上找一点Q（不与点A、B、C重合），使得tan∠PBQ=$\frac{1}{2}$，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）由抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（8，0）和B（-12，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-8）（x+12），再把C的坐标代入抛物线解析式，求出a的值即可；
（2）由AD=AC=10，求出点D的坐标是（-2，0），于是BD=AD．若CD垂直平分MN，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得出DN=DM，∠NDC=∠MDC=∠ACD，那么DN∥AC，BN=CN，DN是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理得出DN=$\frac{AC}{2}$=5，所以AM=t=5，再求出BN=5V_N=3$\sqrt{5}$，根据速度=路程÷时间，计算即可求出N的运动速度；
（3）由S_△PCA=S_△PCB，根据三角形的面积公式可知A、B到PC的距离相等，于是PC∥AB，那么P（-4，6）．由tan∠PBQ=$\frac{1}{2}$=tan∠CBA，得出∠PBQ=∠CBA，于是∠PBC=∠QBA．作PG⊥BC于G，QH⊥AB于H，求出PG=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，CG=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，BG=$\frac{22\sqrt{5}}{5}$，则tan∠PBC=$\frac{PG}{BG}$=$\frac{2}{11}$，Q（x，-$\frac{1}{16}$x²-$\frac{1}{4}$x+6），由tan∠QBA=tan∠PBC列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（8，0）和B（-12，0），
∴可设抛物线的解析式为y=a（x-8）（x+12），
又∵抛物线过点C（0，6），
∴6=-96a，解得a=-$\frac{1}{16}$，
∴y=-$\frac{1}{16}$（x-8）（x+12）=-$\frac{1}{16}$x²-$\frac{1}{4}$x+6，
即该抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{16}$x²-$\frac{1}{4}$x+6；

（2）∵A（8，0），C（0，6），
∴AC=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∴AD=AC=10，
∴点D的坐标是（-2，0），
∵B（-12，0），
∴BD=AD．
若CD垂直平分MN，则DN=DM，∠NDC=∠MDC=∠ACD，
∴DN∥AC，
∴BN=CN，
∴DN是△ABC的中位线，DN=$\frac{AC}{2}$=5，
∴AM=t=5，
而BN=5V_N=3$\sqrt{5}$，点N的运动速度是$\frac{3\sqrt{5}}{5}$；

（3）∵S_△PCA=S_△PCB，
∴A、B到PC的距离相等，
∴PC∥AB，
∴P、C关于抛物线y=-$\frac{1}{16}$x²-$\frac{1}{4}$x+6的对称轴x=-2对称，
∵C（0，6），
∴P（-4，6）．
∵tan∠PBQ=$\frac{1}{2}$，tan∠CBA=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{6}{12}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠PBQ=∠CBA，
∴∠PBQ-∠CBQ=∠CBA-∠CBQ，即∠PBC=∠QBA．
作PG⊥BC于G，QH⊥AB于H．
∵PG=$\frac{PC•OC}{BC}$=$\frac{4×6}{6\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
CG=$\sqrt{P{C}^{2}-P{G}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{4\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
BG=BC-CG=6$\sqrt{5}$-$\frac{8\sqrt{5}}{5}$=$\frac{22\sqrt{5}}{5}$，
∴tan∠PBC=$\frac{PG}{BG}$=$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{\frac{22\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{2}{11}$．
设点Q的坐标为（x，-$\frac{1}{16}$x²-$\frac{1}{4}$x+6），
∵tan∠QBA=tan∠PBC，
∴$\frac{-\frac{1}{16}{x}^{2}-\frac{1}{4}x+6}{x+12}$=$\frac{2}{11}$，
解得x=$\frac{56}{11}$或-12（舍去），
故点Q的坐标是（$\frac{56}{11}$，$\frac{376}{121}$）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，三角形中位线定理，三角形的面积，锐角三角函数，勾股定理等知识，熟练掌握性质定理以及求解析式的方法是解题的关键．