Question

8．如图，平行四边形ABCD中，点E，F在直线AC上（点E在F左侧，）BE∥DF
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AB⊥AC，AB=4，BC=2 $\sqrt{13}$，当四边形BEDF为矩形时，求线段AE的长．

Answer 1

分析 （1）通过全等三角形△BEC≌△DFA的对应边相等推知BE=DF，则结合已知条件证得结论；
（2）根据矩形的性质计算即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠DAF=∠BCE．
又∵BE∥DF，
∴∠BEC=∠DFA．
在△BEC与△DFA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BEC=∠DFA}\\{∠BCE=∠DAF}\\{BC=AD}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△DFA（AAS），
∴BE=DF．
又∵BE∥DF，
∴四边形BEDF为平行四边形；
（2）连接BD，BD与AC相交于点O，如图：

∵AB⊥AC，AB=4，BC=2$\sqrt{13}$，
∴AC=6，
∴AO=3，
∴Rt△BAO中，BO=5，
∵四边形BEDF是矩形，
∴OE=OB=5，
∴点E在OA的延长线上，且AE=2．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．