Question

20．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AC⊥BD，CH⊥AB于H．
求证：$CH=\frac{1}{2}（AB+CD）$．

Answer 1

分析 过C点作CE∥DB交AB延长线于E，易证四边形DBEC是平行四边形，所以DB=CE，结合已知条件可证明△ACE为等腰直角三角形，再由等腰直角三角形的性质即可证明CH=$\frac{1}{2}$（AB+CD）．

解答 证明：
过C点作CE∥DB交AB延长线于E，
∵AB∥CD，
∴四边形DBEC是平行四边形，
∴DB=CE，DB∥CE，DC=BE，
∵AB∥CD，AD=BC，
∴AC=BD，
∴AC=CE，
∵AC⊥BD，
∴AC⊥CE，
∴△ACE为等腰直角三角形，
∵CH⊥AB于H，
∴CH=$\frac{1}{2}$AE，
∵AE=AB+BE=AB+CD，
∴CH=$\frac{1}{2}$（AB+DC）．

点评 本题考查等腰梯形的性质以及平行四边形的判定和性质，难度不大，注意在解题的过程中运算平行线的性质，掌握等腰梯形的对角线相等是解题关键．