Question

16．（1）解方程：x²-4x+1=0（用配方法解）
（2）已知关于x的方程x²-2（k-1）x+k²=0有两个实数根x₁，x₂．
①求k的取值范围；
②若|x₁+x₂|=x₁x₂-1，求k的值．

Answer 1

分析 （1）首先把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．
（2）①根据题意得不等式即可得到k≤$\frac{1}{2}$，
②根据题意得x₁+x₂=2（k-1），x₁x₂=k²即可得到结论．

解答 解：（1）x²-4x+1=0，
解x²-4x=-1
x²-4x+4=-1+4
（x-2）²=3
x-2=$±\sqrt{3}$，
x₁=2+$\sqrt{3}$，x₂=2-$\sqrt{3}$，

（2）①根据题意得[-2（k-1）]²-4k²≥0，
解得：k≤$\frac{1}{2}$，
②根据题意得x₁+x₂=2（k-1），x₁x₂=k²，
∵k≤$\frac{1}{2}$，
∴2（k-1）＜0，x₁+x₂＜0，
∴-2（k-1）=k²-1，
解得：k₁=1，k₂=-3，
∵k≤$\frac{1}{2}$，
∴k=-3．

点评 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，将根与系数的关系与代数式相结合解题是一种经常使用的解题方法；注意k的取值范围是正确解答的关键．