Question

4．如图，△ABC的周长为30，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=12，则PQ的长为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 5
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 首先判断△BAE、△CAD是等腰三角形，从而得出BA=BE，CA=CD，由△ABC的周长为30，及BC=12，可得DE=6，利用中位线定理可求出PQ．

解答 解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，
∴∠ABQ=∠EBQ，
∵∠ABQ+∠BAQ=90°，∠EBQ+∠BEQ=90°，
∴∠BAQ=∠BEQ，
∴AB=BE，同理：CA=CD，
∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），
∴PQ是△ADE的中位线，
∵BE+CD=AB+AC=26-BC=30-12=18，
∴DE=BE+CD-BC=6，
∴PQ=$\frac{1}{2}$DE=3．
故选：C．

点评 本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是判断出△BAE、△CAD是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ是△ADE的中位线．