题目内容

如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．设BE=m，CD=n．
（1）求证：△ABE∽△DCA；
（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；
（3）以△ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2）．在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD+CE=DE．
考点：相似形综合题
专题：
分析：（1）∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°得∠BAE=∠CDA，可证明△ABE∽△DCA；
（2）由△ABE∽△DCA，得
BE
CA
=
BA
CD
，由题意可知CA=BA=
2
，则
m
2
=
2
n
，从而得出m=
2
n
．进而得出自变量n的取值范围为1＜n＜2；
（3）由BD=CE可得BE=CD，即m=n，再根据m=
2
n
，得m=n=
2
．可求得点D坐标为（1-
2
，0）得出BD，DE，由BD+CE=2BD，得CE的长，从而得出BD+CE=DE．
解答：（1）证明：在△ABE和△DCA中，
∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°．
∴∠BAE=∠CDA．
又∵∠B=∠C=45°
∴△ABE∽△DCA．
（2）解：∵△ABE∽△DCA，
∴
BE
CA
=
BA
CD
．
由题意可知CA=BA=
2
，
∴
m
2
=
2
n
，
∴m=
2
n
．
自变量n的取值范围为1＜n＜2．
（3）解：由BD=CE可得BE=CD，即m=n
∵m=
2
n
，
∴m=n=
2
．
∵OB=OC=
1
2
BC=1，
∴OE=OD=
2
-1，
∴D（1-
2
，0）．
∴BD=OB-OD=1-（
2
-1）=2-
2
=CE，
DE=BC-2BD=2-2（2-
2
）=2
2
-2．
∵BD+CE=2BD=2（2-
2
）=12-8
2
，
∴CE=（2
2
-2）=12-8
2
．
∴BD+CE=DE．
点评：本题考查了相似形综合题以及函数问题，是难度较大的题目，解答时要认真审题，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
练习册系列答案
相关题目
某校积极开展卫生健康知识宣传教育，认真组织学生参加健康教育知识竞赛活动．已知竞赛成绩分为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分．现有甲、乙两班学生人数相同，竞赛成绩整理并绘制成如下统计图．

（1）此次竞赛中乙班成绩在C级以上（包括C级）的人数为
 
．
（2）请将下面表格补充完整：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
甲班
 
 90 90
乙班 88
 
 100
（3）试运用所学的统计知识，从两个不同角度评价甲班和乙班的成绩．
（1）化简：
x2
x+1
+
2x+1
x+1
；   
（2）解二元一次方程组
3x+5y=8，①
2x-y=1．②
．
如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，AE∥BC．
（1）作∠ADC的平分线DF，与AE交于点F；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若AD=2，求DF的长．
如图1，在直线l同侧有A，E两点
（1）通过画图，在直线l上找到一点P，使得AP+EP的值最小；
（2）如图2，分别过点A，E作AB⊥BD，ED⊥BD，C为线段BD上一动点，连接AC，EC．已知AB=9，DE=1，AE=17，设CD=x，用含x的代数式表示AC+CE的长；
（3）应用A：如图3，若直线l是一条河流，A、E代表河流同侧的两个工厂，欲在河岸上建一供水站，供A、E两个工厂的用水，为了节省费用，使通水管道到两个工厂的距离之和最短；已知工厂A到河岸的距离为9千米，工厂E到河岸的距离为1千米，A、E两个工厂之间的距离为17千米，请你求出通水管道的最短长度；
（4）应用B：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式
x2+9
+
(16-x)2+81
的最小值（0＜x＜16）
先化简，后求值：（
1
x-1
-
1
x+1
）÷
x+2
x2-1
，其中x=
2
-2．
在一次募捐活动中，某单位50名职工积极响应，同时将所捐款情况统计并制成统计图，根据图提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是
 
．
观察下列等式：
第1个等式：x1=
1
1×3
=
1
2
(1-
1
3
)；第2个等式：x2=
1
3×5
=
1
2
(
1
3
-
1
5
)；
第3个等式：x3=
1
5×7
=
1
2
(
1
5
-
1
7
)；第4个等式：x4=
1
7×9
=
1
2
(
1
7
-
1
9
)；
则xl+x2+x3+…+x10=
 
．
5个大小相同的正方体搭成的几何体如图，则下列说法中正确的是（　　）
A、主视图的面积最小
B、左视图的面积最小
C、俯视图的面积最小
D、三个视图面积一样大

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